函数的单调性

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函数的单调性

中国在近七届奥运会上获得的金牌数

德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据

艾宾浩斯记忆遗忘曲线

记忆保持量（百分数）

天数

O

20

40

60

80

100

3

2

1

4

5

6

1

(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小

x

y

o

-1

x

O

y

1

1

2

4

-1

-2

1

当x增大时f(x)随着增大

(0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大

1

?函数 f(x)=x2 :

x12

x22

x

0

x1

x2

y

f (x1)

f (x2)

在(0,+∞)上任取 x1、x2 ,

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.

一般地，设函数 f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)***严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.

在(-∞,0)上是____函数

在(0,+∞)上是____函数

减

减

函数 ：

y

O

x

在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2

当x1< x2时，都有f(x1) f(x2)

>

解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].

例1. 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？

其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；

说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.

证明函数　　　 在R上是减函数.

例2.利用定义：

4.下结论:由定义得出函数的单调性.

1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2

2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形；

3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负；

证明函数单调性的步骤：

证明函数　 在区间(0,+∞)上是增函数

证:设 是(0,+∞)上任意两个值且

∴

即

∴

∴

在区间(0,+∞)上是增函数．

设值

作差变形

判断差符号

下结论

3.(定义法)证明函数单调性的步骤:

2.图象法判断函数的单调性：

1. 增函数、减函数的定义；

上升

下降

作业:课本第1、2、3题[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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