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函数的奇偶性
***学 康某某
在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。
除了轴对称外，有些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：
它关于什么对称？
而我们所学习的函数图像也有类似的
对称现象，请看下面的函数图像。
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观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
1
-1
f(x)=x2
（1）
（2）
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1)
f(-2)= - f(2)
f(-x)= - f(x)
-x
x
结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)
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-x
x
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
而函数f(x)=x2 ， 却是另一种情况，如下：
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-x)=(-x)2=x2
f(-1)=f(1)
f(-2)=f(2)
f(-x)=f(x)
结论:当自变量x任取定义域
中的一对相反数时,对应的
函数值相等，即f(-x)=f(x)
而函数f(x)=x2 ， 却是另一种情况，如下：
函数奇偶性的定义:
偶函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,
都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.
奇函数定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,
都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.
对于奇、偶函数定义的几点说明:
(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，
即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就
是说函数f(x) 具有奇偶性。
练习: 说出下列函数的奇偶性:
①f(x)=x4 ________
③ f(x)=x ________
④ f(x)=x -2 __________
⑤ f(x)=x5 __________
⑥f(x)=x -3 _______________
② f(x)= x -1 __________
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
对于形如 f(x)=x n ( ) 的函数，在定义域R内:
若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+(-x)
= -x3-x
= -(x3+x)
即 f(-x)= - f(x)
∴f(x)为奇函数
解: 定义域为R
∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a
=3x4+6x2 +a
即 f(-x)= f(x)
∴f(x)为偶函数
说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.
⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.
思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？
x
y
0
1
2
f(x)=2x+1
-1
分析：函数的定义域为R
但是f(-x)=2(-x)+1
= -2x+1
∴ f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠ f(x)
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）
如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
(1) f(x)= (2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4)
解: ∵定义域不关于原点 对 称
或 ∵ f(-4)=(-4)2 =16;
f(4)在定义域里没有意义.
∴f(x)为非奇非偶函数
解: 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数
思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
本课小结:
两个定义: 对于函数f(x)定义域内的任意
一个x
两个步骤:（判断函数的奇偶性）
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。
如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。
（1）先求出定义域，看定义域是否关于原点
对称
（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。
练一练：
判断函数的奇偶性:
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作业:
课本 P44页 A组 10.
课外思考题:
1.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:
(1). F(x)=f(x)+f(- x) (2).F(x)=f(x)-f(-x)
2.判断函数 的奇偶性:
3. 已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1+x);当x<0,f(x)等于( ).
x(1-x) B. x(1-x)
C. -x(1+x) D. x(1+x)
4.已知函数f(x),g(x)均奇函数，F(x) =
a f(x) + b g(x) ,(a,b不为0的常数)则F(X)为( )
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 非奇非偶 D. 既是奇又是偶函数
若F (x) = x (f(x)+g(x) ),则F(x)为________,
F (x) = x2 (f(x)+g(x) ) ,则F(x)为________.
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