函数的奇偶性

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函数的奇偶性

***

张某某

偶函数?函数图象关于y轴对称

函数图象关于y轴对称

y

观 察所作图形 1讨论函数的单调性 2讨论

这个函数的图象的对称性如何？

奇函数?函数图象关于原点对称

观察下图，思考并讨论以下问题：

这个函数的图象的对称性如何？

？

函数图象关于原点对称

奇偶函数图象的性质：

一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称

一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称

1 利用函数的图像判断下列函数的奇偶性

奇函数

偶函数

课堂练习

o

y

x

解：画法略

2 根据函数奇偶性作图像

已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。

偶函数的图象关于y轴对称

.

一般地，设点P(a,b)为平面上的任意一点，则

（1）点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为

（2）点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为

（3）点P(a,b)关于原点O 的对称点的坐标为

(a,-b) ；

(-a,b)；

(-a,-b).

-x

x

当x1=1, x2= -1时，

当x1=2, x2= -2时,

f(-x) = f(x)

对任意x,

f(-1)=f(1)

f(-2)=f(2)

如果对于函数f(x)定义域A内的任意一个x∈A,都有-x∈A，且f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数。

偶函数定义:

x

x

f

1

)

(

=

f(-1)= -1， -f(1)= -1

f(-1)= -f(1)

-x

x

f(-x)= -f(x)

如果对于函数f(x)的定义域A内任意一个x∈A,都有

-x∈A，且f(-x)=－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

奇函数的定义

对任意x,

如果对于函数f(x)的定义域A内任意一个x∈A,都有

-x∈A，且f (-x)= f (x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

如果对于函数f(x)的定义域A内任意一个x∈A,都有

-x∈A，且f (-x)=－ f (x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

奇函数定义:

偶函数定义:

函数的奇偶性

如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数, 那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。

关键

定义域关于原点对称

1利用定义判断下列函数的奇偶性

(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2

解：定义域为R

∴ f(x)为奇函数

解：定义域为R

∴ f(x)为偶函数

解：定义域为R

∴ f(x)为偶函数

解：定义域为R

(3) f(x)=5 (4) f(x)=0

∴f(x)既是奇函数又是偶函数

⑸f(x)=x+1 ⑹f(x)=x2 x∈［-1，3］

解：定义域为R

∴f(x)为非奇非偶函数

解：定义域不关于原点对称，此函数为非奇非偶函数

奇函数

偶函数

既是奇函数又是偶函数

非奇非偶函数

四

函数按是否有奇偶性可分为 类：

函数的定义域必关于原点对称

小 结

对于f(x)定义域A内的任意一个x∈A,都有-x∈A,且

f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数

f(-x)= f(x) f(x)为偶函数

一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称

一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称

⑴先求定义域，看是否关于原点对称

⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立

⑶据定义得出结论

两个性质

三个步骤

一个必要条件

两个定义

两种方法

图象法和定义法（判断函数奇偶性）

作 业

1、课本P88 5、6

设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:

(1)F(x)=f(x)+f(-x) (2)F(x)=f(x)-f(-x)

2、思考题[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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