二次函数图象的对称关系

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二次函数的对称关系

***学 刘某某

对称在二次函数中有着广泛的应用，点与点的对称、二次函数图象上的点的对称、两个二次函数图象之间的对称等，今天我们就来探究这些对称之间的规律。

一、在平面直角坐标系中点与点关于轴对称，原点对称.

点（m，n)关于x轴的对称点是 ，关于y轴的对称点是 ，关于原点的对称点是 。

(m，-n)

(-m，n)

(-m，-n)

二、关于二次函数的对称

1、二次函数图象是 对称图形，图象上的任意一点都能在这个图像上找到它的对称点.

轴

2、二次函数图象关于x轴、y轴、原点对称

观察图象，它们之间是如何平移和旋转的，系数之间有什么关系？

练习：

1、点（-3,5）关于x轴的对称点是 ；关于y轴的对称点是 ；关于原点的对称点是 ；关于直线x=1的对称点是 。

2、抛物线y=2x2+4x-1的图象关于y轴对称的图象解析式是 ；关于x轴对称的图象解析式是 ；关于原点对称的图象解析式是 ；

（-3，-5）

（3,5）

（3，-5）

（5,5）

y=2x2-4x-1

y=-2x2-4x+1

y=-2x2+4x+1

3、已知：抛物线y=ax2+4ax+t（a＞0）与x轴的一个交点为A（-1,0）.

（1）求抛物线的对称轴；

（2）求抛物线与x轴的另一

个交点B的坐标；

（3）D是抛物线与y轴的交点，

C是抛物线上的一点，且以AB

为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式.

（4）试判断点E（-5，-8）是否在这条抛物线关于X轴对称的图像上，并在对称轴上取一点P，使PB+PE的值最小，并求出这个最小值。

解：（1） 对称轴x=-2.

（2）∵A（-1,0）, 对称轴x=-2.

∴它的对称点B的坐标为（-3,0）.

（3）∵AB为梯形的一底边.

∴CD∥AB，

∵点C、D在抛物线上

∴点C、D关于直线x=-2对称

∵D（0,t）

∴C（-4,t）

∵梯形ABCD的面积为9.

∴(2+4)t=2XXXXX9

∴t=3

将t=3，A（-1,0）代入y=ax2+4ax+t中得：

a=1

∴此抛物线解析式为y=x2+4x+3.

最后的话

利用点或函数图象的平移、旋转、对称是我们在解决函数有关问题的必要手段之一，所以，熟练掌握点，线及函数图象的平移、对称是我们解决函数问题的基本功，是完成有关函数类题型的前提条件。希望同学们课后认真体会，能灵活应用它们的相互关系解决实际问题。

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