函数的奇偶性第一课时
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2020-12-28
函数的奇偶性
2020-12-28
生活中的美无处不在
我们所学习的函数图像是否也有类似的对称现象?
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y
3
2
1
0
1
2
3
任意x∈R都有
=
第一组函数图象
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第二组函数图象
f(x)=x3 f(x)=-1/x
x
f(x)
-x
f(-x)
(x,y)
(-x,-y)
-27
-8
-1
0
1
8
27
-1/3
-1/2
-1
1
1/2
1/3
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函数的奇偶性
奇函数的定义：
一般地，如果对于函数f(x)定义域内任意一个ｘ，都有f(-x)=-f(x)则函数f(x)叫奇函数。
说明：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性
偶函数的定义：
一般地，如果对于函数f(x)定义域内任意一个ｘ，都有f(-x)=f(x)则函数f(x)叫偶函数。
函数的奇偶性是定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性。
具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
y=f(x)是奇函数 y=f(x)的图象关于原点对称
y=f(x)是偶函数 y=f(x)的图象关于y轴对称
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慧眼识图
借助函数图象可以判断函数的奇偶性
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∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2
∴f(x)为偶函数
解:
定义域为R
即 f(-x)= f(x)
(1) f(x)=2x4+3x2
例1. 判断并证明下列函数的奇偶性
(2) f(x)=x+
1
x
∴f(x)为奇函数
解：定义域为㘚x|x≠0㘎
即 f(-x)= - f(x)
根据定义判断/证明函数奇偶性的步骤：
（1）求函数的定义域并检验是否关于原点对称；
（2）确定f(-x)与f(x)的关系；
（3）得出奇偶性的结论
(3). f(x)=x+1 (4). f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
解: 定义域为R
∵ f(-x)= -x+1
- f(x)= -x-1
∴f(-x)≠f(x)
且f(-x)≠ f(x)
∴f(x)为非奇非偶函数
解: ∵定义域不关于原点对 称
∴f(x)为非奇非偶函数
(5) f(x)=0
解: 定义域为R
∵ f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0
∴f(x)为既奇又偶函数
思考
1、当____时一次函数f(x)=ax+b (a≠0）是奇函数
2、当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）
是偶函数
我们学过的一次函数、二次函数、反比例函数有奇偶性吗？
练习 ：如果定义在区[3- , 5]上的函数为奇函数，那么 =
8
练习 ：已知函数 是关于 轴对称，则
4
b=0
b=0
例2、设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+1,求x<0时，f(x)的解析式.
问题研究
变式：设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x+1,求f(x)的解析式.
函数奇偶性的应用
变式：设f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2x+1,求x<0时，f(x)的解析式.
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o
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o
x
x
x
x
y
y
y
y
1、判断下列函数的奇偶性：
2、判断并证明下列函数的奇偶性
(4).[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]
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