方某某的根与函数的零点教学设计

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《方某某的根与函数的零点》教学设计

引言：本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第三章第一节第一课时．通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方某某根的存在性以及根的个数建立一元二次方某某的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方某某与相应的函数的情形．

案例描述：

一、学情分析

程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高与程度很差的学生占少数．

知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的．再者一元二次方某某是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题．这也为我们归纳函数的零点与方某某的根联系提供了知识基础．但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方某某还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方某某的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方某某根的联系应该是学生学习的难点．加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂．因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方某某让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系．

二、设计思想

教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣．

教学原则：注重各个层面的学生．

教学方法：三学一导．

三、教学目标

1.知识与技能：

①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方某某的关系，掌握零点存在的判定条件；

②培养学生的观察能力；

③培养学生的抽象概括能力．

2.过程与方法：

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法；

②让学生归纳整理本节所学知识．

3.情感、态度与价值观：

在函数与方某某的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．

四、教学重点、难点

重点：函数零点与方某某根之间的关系；连续函数在某区间上存在零点的判定方法．

难点：发现与理解方某某的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法．

五、教学过程设计

1．指导学生进行课前学习

预习教材，完成以下习题：

1．零点：使 的实数
．

2．方某某
有实数根
函数
的图像与 有交点
函数
有 ．

3．函数零点存在结论：

如果函数
的图象在区间
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，函数
在区间
内有零点，即存在
，使得 ，这个
也就是方某某
的根．

4．已知某函数
的图象如图所示，则函数
有零点的区间大致是（ ）　

A．(0，0.5) B．(0.5，1) C．(1，1.5) D．(1.5，2)

5．已知
有一个零点为2，则
的值是___ _______．

2．指导学生进行课堂学习

（1）方某某的根与函数的零点以及零点存在性的探索

问题1：下列方某某有没有根，有几个，分别是：①2x－3=0 ；②
．

分析二次方某某除了用判别式以外，还有没有其他的方法判断方某某有没有根的问题呢？从而引出图像的画法。

问题2：画出函数
的图象

图1

[师生互动]

师：你在作图中是如何取函数图象与x轴交点的坐标的？

零点概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．

师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方某某的根有何关系？

根据概念，函数y＝f（x）的零点与函数y＝f（x）的图象与x轴交点有什么关系

生：1）概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数
的零点为x =-1,3

2）函数零点的意义：函数
的零点就是方某某
实数根，亦即函数
的图象与
轴交点的横坐标．

3）方某某
有实数根
函数
的图象与
轴有交点
函数
有零点．

师：引导学生仔细体会上述结论．

再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？

生：可以解方某某
而得到（代数法）；

可以利用函数
的图象找出零点．（几何法）

第一阶段设计意图

本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路，进而培养学生归纳总结能力．

（2）零点存在性的探索

[师生互动]

师：教师引导学生从实际问题出发提炼成数学函数问题结合函数图象，分析函数在为2连续不断变化下在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．

生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论．

一般地，我们有：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）XXXXXf（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方某某f（x）＝0的根．

第二阶段设计意图：

教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维．

（3）例范研究

例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例

（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) XXXXXf(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.

（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) XXXXXf(b) >0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) XXXXXf(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.

（4）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内存在零点，则有 f (a) XXXXXf(b) < 0

师：总结两个条件：

1）函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；

2）在区间[a，b]上有f（a）XXXXXf（b）<0．

一个结论：函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点．

补充：什么时候只有一个零点？

（观察得出）函数y＝f（x）在区间[a，b]内单调时只有一个零点．

例3 已知函数f（x）=－3x5－6x＋1有如下对应值表：

x

－2

－1.5

0

1

2



f（x）

109

44．17

1

－8

－107



函数y＝f（x）在哪几个区间内必有零点？为什么？

第三阶段设计意图：

教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用,应用例1，例2加深对定理的理解

（4）练习尝试(可根据时间和学生对知识的接受程度适当调整)

第四阶段设计意图：利用练习巩固新知识，加深理解，为用二分法求方某某的近似解做准备．

（5）课堂小结：

①零点概念；

②零点存在性的判断；

③零点存在性定理的应用注意点：零点个数判断以及方某某根所在区间．

（6）作业回馈

教材P108习题3．1（A组）第1、2题；

思考：总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方某某的近似解吗？

3．指导学生进行课后学习

通过学生的作业反馈，重点辅导没有落实的课标要求．

案例反思：

本设计根据“三学一导”的教学法，突出了学生的主体作用，有效激发了学生学习的兴趣．同时也遵循了由浅入深、循序渐进的原则，从学生认为较简单的一元二次方某某与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方某某的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方某某与相应的函数的情形．

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