函数的单调性

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1.3.1函数的单调性

画函数 y=x2和 y=x3的图象

如何用数学语言来描述函数图象的这种性质呢？

函数f (x)在给定区间上为增函数。

用x与 f(x)来描述上升(增)函数的图象

用x与 f(x)来描述下降(减)函数的图象

函数f (x)在给定区间上为减函数

函数单调性的概念：

1. 如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2 时，都有f(x1) ＜ f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数 .

2. 如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数 .

一般地，设函数 f (x)定义域为I：

单调区间：

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)***严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间。

故分为:单调增区间、单调减区间.

在单调递增区间上的函数图象是上升的,单调递减区间上的函数图象是下降的.

y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2， 1)，[3， 5]上是增函数．

例1

利用图像可判断函数单调性

(看走势)

证明：设x1，x2 是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则

f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)．

由x1＜x2，得x1-x2＜0，

于是? f(x1)-f(x2)＜0，

即??? f(x1)＜f(x2)．

所以，f(x)= 3x+ 2在R上是增函数．

例2? 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数．

利用定义可判断函数单调性

(严格数学推理)

2.定义法:

用定义证明函数f(x)在区间C上单调性的步骤：

(1)取值：对任意x1, x2∈M，且x1＜x2；

(2)作差：f (x1 ) －f (x2 )；

(3)判定差的正负；

(4)根据判定的结果作出相应的结论.

函数单调性的判断方法:

1.图像法:

利用图像判断函数单调性的方法比较粗略不严格，但方便常用．解答题不能用

想一想：下面的说法对么？

利用函数单调性的定义

求下列函数的单调区间

都要写成区间的形式

若y是t的一个函数y=f(t)，而t又是x的一个函数t=g(x)，则y也是x的一个函数，称复合函数，记作y=f [g(x)] ; 其中t=g(x)为内层函数， y=f(t)为外层函数。

复合函数的概念

x→ t → y

√

XXXXX

证明：设x1, x2∈[a,b],且x1<x2，∵g(x)在[a,b]上单调递减，∴g(x1) >g(x2),又f(x)在R上递增，而g(x1)∈R，g(x2)∈R，∴f[g(x1)]>f[g(x2)], ∴f[g(x)]在[a,b]上是减函数.

例 已知函数f(x)在R上是增函数，g(x)在[a,b]上是减函数，求证：f[g(x)]在[a,b]上是减函数.

问：若将上例中的条件“函数f(x)在R上是增函数”换成“函数f(x)在R上是减函数”，其他条件不变，那么f[g(x)]在[a,b]上的增减性又如何？

对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)区间[a,b]上是单调增(减)函数,且y=f(t)在区间[g(a),g(b)](或者[g(b),g(a)]上是单调函数,那么函数y=f[g(x)]在区间[a,b]上的单调性由以下表格所示, 首先应考虑函数的定义域.

同增异减

⒈证明函数的单调性，基本上都是利用定义， ⑴设x1,x2是给定区间内的任意两个值,且x1<x2；

⑵作差f(x1)-f(x2)，

⑶判断f(x1)-f(x2)的正负(要注意说理的充分性);

⑷根据f(x1)-f(x2)的符号确定其增减性；要避免证明过程中的似是而非、含糊不清的毛病.

⒉讨论复合函数单调性的根据是：设y=f(u),u=g(x),x∈[a,b],u∈[m,n]都具有单调性，则y=f[g(x)]在[a,b] 上也既有单调性.

小结

1、单调性相对它的定义域内的某个指定的区间而言

2、定义中x1，x2有以下的特点

⑴ x1、x2在区间上

⑵ x1、x2任意性

⑶ x1 < x2

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