孙某某

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y

x

0

函数单调性与导数

引例：判断函数y=x2－4x＋3的单调性.

定义法

增区间：(２，+∞).

减区间：(－∞，２).

图象法

思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?

(1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x

发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？

下面我们通将过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系

2

.

.

.

.

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.

.

再观察函数y=x2－4x＋3的图象：

总结: 该函数在区间（－∞，2）上单某某,切线斜率小于0,即其导数为负;

而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.

在区间（2，+∞）上单某某,切线斜率大于0,即其导数为正.

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

y = x

y = x2

y = x3

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.

y ‘= x

结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间

注意:1、如果在某个区间内恒有fXXXXX(x)=0,则f(x)为常数函数

如果fXXXXX(x)<0,

则f(x)为增函数;

则f(x)为减函数.

如果fXXXXX(x)>0,

示例：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.

故，f(x)***－∞，0)和(2，＋∞)

单调递减区间(0,2)

说明：当x=0或2时, fXXXXX(x)=0,即函数在该点单调性发生改变.

练习1.求函数

的单调区间.

解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞)

导数

令6x2－6x－36>0,解得x>3或x<-2

∴当x ∈(3,＋∞)和(－∞，-2)时，

f(x)是增函数；

令6x2－6x－36<0,解得,-2<x<3

∴当x ∈(-2,3)时，f(x)是减函数。

（2）判断函数 的 单调性.

解: 的定义域为(0, ＋∞)

（3）判断函数 的单调性.

解：函数f(x)的定义域是(－ ∞,＋∞)

导数

令 即

得

令 即 得

f(x)的递增区间为

f(x)的递减区间为

练习1

变式1:函数 在区间 上是减函数，则求 a的取值范围.

练习2：函数 在区间 上是增函数，求a的取值范围.

练习3:函数 在区间 上是不单调函数，则求 a的取值范围.

当x ∈(3,＋∞)和(－∞，-2)时，f(x)是增函数；

当x ∈(-2,3)时，f(x)是减函数。

定理：

一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导：

如果恒有 ，则 f(x)在是增函数。

如果恒有 ，则 f(x)是减函数。

如果恒有 ，则 f(x)是常数。

知识点：

步骤：

（1）求函数的定义域

（2）求函数的导数

（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。

f’(x)>0

f’(x)<0

f’(x)＝0

作业布置：

书本P128 习题3.6 1. 2（3）（5）（6）

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