函数的单调性与导数
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函数的单调性与导数
学习目标
1.了解导数与函数单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一 函数的单调性与其导数正负的关系
思考1 f(x)＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，那么fXXXXX(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上的函数值的大小如何？
答案 当x∈(－∞，0)时，fXXXXX(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，fXXXXX(x)>0.
思考2 y＝f(x)在区间(a，b)上的单调性与y＝fXXXXX(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？
答案 在区间(a，b)上，fXXXXX(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；
在区间(a，b)上，fXXXXX(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数.
梳理 (1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
增
减
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
增
减
特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使fXXXXX(x)＝0，在其余的点恒有fXXXXX(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有fXXXXX(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上fXXXXX(x)不恒为0.
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得 ，这时，函数的图象就比较“ ”(向上或向下)；反之，函数的图象就“ ”一些.
知识点二 函数的变化快慢与导数的关系
平缓
陡峭
快
[思考辨析 判断正误]
1.函数f(x)在定义域上都有fXXXXX(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增.
( )
2.函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.( )
3.函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.
( )
XXXXX
XXXXX
√
题型探究
例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝fXXXXX(x)的图象可能是图中的
类型一 原函数和导函数图象之间的关系
答案
解析
√
解析 由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝fXXXXX(x)的正、负情况如下表：
由表分析函数y＝fXXXXX(x)的图象：当x∈(－1，b)时，函数图象在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图象在x轴下方.故选C.
反思与感悟 对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.
跟踪训练1 函数y＝f(x)在定义域 内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝fXXXXX(x)，则不等式fXXXXX(x)≤0的解集是
答案
解析
√
类型二 利用导数求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间.
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
解答
解 fXXXXX(x)＝6x2＋6x－36.
由fXXXXX(x)＞0，得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由fXXXXX(x)＜0，解得－3<x<2.
故f(x)***－∞，－3)，(2，＋∞)；
***－3，2).
(2)f(x)＝3x2－2ln x.
解答
解 函数的定义域为(0，＋∞)，
反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤
(1)优先确定f(x)的定义域.
(2)计算导数fXXXXX(x).
(3)解fXXXXX(x)>0和fXXXXX(x)<0.
(4)定义域内满足fXXXXX(x)>0的区间为增区间，定义域内满足fXXXXX(x)<0的区间为减区间.
解答
解 函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由fXXXXX(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)***3，＋∞)；
由fXXXXX(x)<0，得x<3.
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)***－∞，2)和(2,3).
例3 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是_________.
类型三 含参数函数的单调性
答案
解析
即k的取值范围为[1，＋∞).
[1，＋∞)
解答
引申探究
1.试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.
解 f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
当k≤0时，函***0，＋∞)；
2.若f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是_____.
解析 由引申探究1知k>0，
则0<k<1.
(0,1)
答案
解析
反思与感悟 (1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即fXXXXX(x)≥0(或fXXXXX(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.
②先令fXXXXX(x)>0(或fXXXXX(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意.
(3)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2＋2aln x.
(1)试讨论函数f(x)的单调区间；
解答
①当a≥0时，fXXXXX(x)>0，
f(x)***0，＋∞)；
当x变化时，fXXXXX(x)，f(x)的变化情况如下表：
(2)若函数g(x)＝ ＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围.
解答
由已知函数g(x)为[1,2]上的减函数，
则gXXXXX(x)≤0在[1,2]上恒成立，
达标检测
1.函数f(x)＝(x－1)ex的单调递增区间是
A.(－∞，0) B.(0,1)
C.(1,4) D.(0，＋∞)
答案
解析
√
1
2
3
4
5
解析 fXXXXX(x)＝(x－1)XXXXXex＋(x－1)(ex)XXXXX＝xex，令fXXXXX(x)>0，解得x>0，故选D.
答案
2.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝fXXXXX(x)的图象可能为
1
2
3
4
5
解析
√
解析 由f(x)的图象判断出f(x)在区间(－∞，0)上单调递增；
在(0，＋∞)上先增再减再增，
∴在区间(－∞，0)上fXXXXX(x)>0，在(0，＋∞)上先有fXXXXX(x)>0，再有fXXXXX(x)<0，再有fXXXXX(x)>0.只有D符合.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.y＝xln x在(0,5)上是
A.增函数
B.减函数
√
答案
解析
增函数.
4.已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是
A.－3 B.－2
C.2 D.3
1
2
3
4
5
答案
解析
√
解析 fXXXXX(x)＝3x2＋a，∵函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，∴fXXXXX(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
∵fXXXXX(x)＝3x2＋a在[1，＋∞)上是增函数，
∴3x2＋a≥3XXXXX12＋a＝3＋a，
∴3＋a≥0，∴a≥－3.
1
2
3
4
5
5.判断函数y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性.
解 ∵yXXXXX＝(ax3－1)XXXXX＝3ax2.
①当a>0时，yXXXXX≥0，函数在R上单调递增；
②当a<0时，yXXXXX≤0，函数在R上单调递减；
③当a＝0时，yXXXXX＝0，函数在R上不具备单调性.
解答
1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导函数fXXXXX(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式fXXXXX(x)>0和fXXXXX(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
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