函数的极值与导数新
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3.3.2函数的极值与导数
教材分析
《1.3.2函数的极值与导数》是高中数学人教A版选修2-2第一章第三节导数应用中的第二节内容，第一节已经学习了函数的单调性与导数，学生已初步具有运用导数的基本思想去分析和解决函数问题的意识，本节课将采用数形结合、师生互动的教学方法继续加强这方面的意识和能力的培养—正确使用导数求可导函数的极值，其后还有利用导数求函数的最值、曲线的切线等问题，因此本节课起到承上启下的作用。从高考角度分析，以中难档题为主，所以导数在函数的应用中是非常重要的。
学情分析
通过前面的学习，学生对导数已经有了初步认识。不过我校学生的理解和应用知识的能力稍显不足，可能对一些特殊情况难以分辨。所以在教学中，还是要从基础入手，指导学生先做到对解题方法和步骤的模仿，在此基础上，努力提升认识水平，力争让尽可能多的学生达到知识的融会贯通。
教学目标：
教学重点、难点
教学重点：
1、理解函数极值的定义
2、掌握求可导函数的极值的一般方法。
教学难点：
1、 为函数极值点与 =0的逻辑关系
2、将知识和方法内化为技能
借助数形结合的方法掌握函数极值的概念
情景导入
Part one
1
情境导入
任务呈现
探究新知
拓展延伸
梳理提升
C
情境导入
任务呈现
探究新知
拓展延伸
梳理提升
f '(x)>0
f '(x)<0
复习:函数单调性与导数的关系
设函数y=f(x) 在 某个区间(a,b) 内可导，
f(x)在这个区间单调递增
f(x)在这个区间单调递减
探究新知
Part one
2
情境导入
任务呈现
探究新知
拓展延伸
梳理提升
观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋势、P点的函数值以及点P位置的相对附近点有什么特别?
函数图像在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大.
函数图像中的点Q 呢?
情境导入
任务呈现
探究新知
拓展延伸
梳理提升
观察下图中Q 点附近图像从左到右的变化趋势、Q点的函数值以及点Q位置的相对附近点有什么特别?
函数图像在Q点附近从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递增变为单调递减），在Q点附近，Q点的位置最低，函数值最小.
情境导入
任务呈现
探究新知
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，
如果对x0附近的所有的点,都有f(x)㩳f (x0),我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值, x0叫函数的极大值点。
如果对x0附近的所有的点,都有f(x)㧐f (x0)，我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极小值, x0叫函数的极小值点。
极大值与极小值统称为极值.
极大值点与极小值点统称为极值点
函数极值的定义
极值即峰谷处的值
拓展延伸
梳理提升
情境导入
任务呈现
探究新知
拓展延伸
梳理提升
情境导入
任务呈现
探究新知
观察下面函数图象,指出该函数的极值，并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
拓展延伸
梳理提升
情境导入
任务呈现
探究新知
思考探究一：
1、极值点是点吗?
极值点是自变量x的值，极值指的是函数值y。
2、函数的极值是一个整体性的概念吗？
函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一
点的左右两侧附近的点而言的
3、极大值一定比极小值大吗？函数的极值唯一吗？
极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数
在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，
在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．
拓展延伸
梳理提升
情境导入
任务呈现
探究新知
探究二：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x=x0是可导的，则必有f ?(x0)=0 ，且两侧导数符号相反。
思考:若 f ?(x0)=0，则x0是否为极值点？
f ?(x1)=0
f ?(x2)=0
f ?(x3)=0
拓展延伸
梳理提升
情境导入
任务呈现
探究新知
结论： f?(x0) =0是x0 是可导函数f(x)的极值点必要不充分条件
那么怎么用导数来求极值点呢?
拓展延伸
梳理提升
情境导入
任务呈现
探究新知
f ?(x)<0
x1
极大值点两侧
极小值点两侧
f ?(x)<0
f ?(x)>0
f ?(x)>0
探究2:极值点两侧导数正负符号有何规律?
x2
f?(x) >0
f?(x) =0
f?(x) <0
极大值
f?(x) <0
f?(x) =0
极小值
f?(x) >0
结论：
左正右负极大值
左负右正极小值
情境导入
任务呈现
梳理提升
f ?(x)<0
x1
f ?(x)<0
f ?(x)>0
f ?(x)>0
函数的极值与导数的关系
x2
拓展延伸
探究新知
②求导数
①确定函数的定义域；
④检查 ,方程 ＝0的根的左右两侧的符号，确定极值点和极值.(最好通过列表法)
③求方程
=0的根,这些根也可能称为
强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就
必须判断 f?(x0)=0左右侧导数的符号.(最好列表)
极值点；
求可导函数的极大(小)值的步骤:
情境导入
任务呈现
梳理提升
拓展延伸
探究新知
拓展延伸
Part three
3
情境导入
任务呈现
探究新知
拓展延伸
梳理提升
1、求函数 的极值
解:
令 ，得 或
当 变化时， 的变化情况如下表：
∴当 时, 有极小值，并且极小值为
当 时, 有极大值，并且极大值为
∵
∴
单调递减
单调递增
单调递减
（1）如图是函数 的图象,试找出函数 的
极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
情境导入
任务呈现
探究新知
拓展延伸
梳理提升
（2）如果把函数图象改为导函数 的图象?
答：
1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。
2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)
的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。
情境导入
任务呈现
探究新知
拓展延伸
梳理提升
课堂小结:
一、方法:
(1)确定函数的定义域
(2)求导数f'(x)
(3)求方程f'(x) =0的全部解
(4)检查f'(x)在f'(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正右负
(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值
二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极
值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题
今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值
谢谢！
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