26.1 二次函数

以下为《26.1 二次函数》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。

26.1 二次函数

第26章 二次函数

导入新课

讲授新课

当堂练习

课堂小结

1.掌握二次函数的概念.（重点）

2.能识别一个函数是不是二次函数. (重点)

3.能根据实际情况列二次函数关系式，求二次函数的值.（难点）

导入新课

情境引入

雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？

1.什么叫函数?

一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.

3.一元二次方程的一般形式是什么？

一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.当b=0时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.

2.什么是一次函数？什么是正比例函数？

ax2+bx+c=0 (a≠0)

讲授新课

问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 .

y=6x2

此式表示了正方体表面积y与正方体棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.

探究归纳

问题2 用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？

如图，设围成的矩形花圃为ABCD，靠墙的

一边为AD，垂直于墙面的两边分别为AB和CD.

设AB长为x m(0＜x＜10),先取x的一些值，进而

可以求出BC边的长，从而可得矩形的面积y.将计算结

果写在下表的空格中：

单位：m

18

16

14

10

8

6

4

2

18

32

42

50

48

42

32

18

我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也就随之确定,即y是x的函数,试写出这个函数的关系式.

问题1、2中的两个函数关系式有什么共同特点？

y是x的一次函数？是反比例函数？

想一想

二次函数的定义：

一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；

（2）a,b,c为常数，且a≠ 0;

（3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.

归纳总结

温馨提示

例1 下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？

为什么？

① y=ax2+bx+c ② s=3-2t2 ③y=x2

④ ⑤y=x2+x3+25 ⑥ y=(x+3)2-x2

④不是，右边是分式.

⑤不是，x的最高次数是3.

典例精析

解： ①不一定，缺少a≠0的条件.

②、③是二次函数.

⑥不是，化简整理后，y=6x+9，是一次函数.

判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2 , y=ax2+bx , y=ax2+c等.

方法归纳

典例精析

（1）求k的值.

（2）当x=0.5时，y的值是多少？

解得

合作探究

问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?

分析：销售利润=（售价-进价）XXXXX销售量.

根据题意，求出这个函数关系式.

即

对于此类型题要紧扣概念的特征进行解题，本题考查的是正比例函数和二次函数的概念，在解题时，要注意二次函数次项的系数不为0.

方法归纳

实际问题中的变量关系问题常可通过建立函数模型来解决，常见的用二次函数模型来解决实际问题的有如下几种：

(1) 几何图形的面积、体积计算问题；

(2) 在特定情况下， 销售利润与售价的关系问题；

(3) 在特定情况下，银行存款本利与年利率的关系问题；

(4) 在特定情况下，总量与增长率（降低率）的关系问题.

二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.

归纳总结

例2 已知函数

（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？

（2） m取什么值时，此函数是二次函数？

解：

由（1）可知,

解得

由（2）可知,

解得

m=3.

第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.

例3 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？

分析：

这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量y=________.

20(1+x)

20(1+x)2

20(1+x)2

答：

y=20x2+40x+20；

典例精析

例4 一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为120m , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2).

1

1

1

3

x

分析：矩形面积=长XXXXX宽.

种植区域的一条边长为：_______________.

种植区域的另一条边长为：

_________________.

（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2 ）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的表达式．

做一做

解：（1）y=x2;

(2) y=(4+x)(3+2x).

此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.

归纳总结

做一做

（1）求a的值.

(2) 求函数关系式.

（3）当x=-2时，y的值是多少？

二次函数的一般式y=ax２＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？

联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0,

(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.

区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0.

想一想

当堂练习

2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )

A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0

C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数

C

1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数

为______，常数项为 .

C

-3x2

-16

12

4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2).求

（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；

（2）当x=3时矩形的面积.

解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；

(2)当x＝3时，y＝－32＋8XXXXX3＝15 cm2 .

课堂小结

二次函数

定 义

y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）

一般形式

右边是整式；

自变量的指数是2；

二次项系数a ≠0.

特殊形式

y=ax2；

y=ax2+bx；

y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.

[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

以上为《26.1 二次函数》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读上面文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。