22.1 一元二次方程
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第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
1
课堂讲解
一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解（根）
利用一元二次方程建立实际问题模型
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
问 题（一）
（来自教材）
分析： 我们已经知道可以运用方程解决实际问题．
设绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900，
整理得
x2＋10x－900＝0. (1)
（来自教材）
（来自教材）
学校图书馆去年年底有图书5万某某，预计到明年年底增加到7.2万某某．求这两年的年平均增长率．
问 题（二）
分析：设这两年的年平均增长率为x.
已知去年年底的图书数是5万某某，则今年年底的图
书数是5(1＋x)万某某．
同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的
(1＋x)倍，即5(1＋x)(1＋x)＝5(1＋x)2 (万某某)．
可列得方程 5(1＋x)2＝7.2，
整理可得 5x2＋10x－2.2＝0. (2)
1
知识点
一元二次方程的定义
思 考
问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2)．显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们又有什么共同特点呢？
知1－导
（来自教材）
1. 定义：整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程．
2. 要点精析：(1) 理解定义：要掌握三个关键点：整式、未知数个数及最高次数；“一元”是指整个方程中只含有一个未知数；“二次”是指该未知数的最高次数是2.
(2) 一元二次方程的识别方法：整理前：①整式方程，②只含一个未知数；整理后：未知数的最高次数是2.
知1－讲
例1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有( )
A．1个 B. 2个 C．3个 D．4个
知1－讲
A
导引：要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程
及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一
元二次方程的条件．①中有两个未知数；②不是整
式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次
项系 数为零．
知1－讲
判断一个方程是否是一元二次方程，有两个关键点：
(1) 整理前是整式方程且只含一个未知数；
整理后未知数的最高次数是2；本例⑤2x2－3x＝
2(x2－2)中易出现不整理就下结论，误认为是一
元二次方程的错误．
下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋ ＝2 D．x2－x－2＝0
若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x一元二次方程，则( )
A．m＝1 B． m＝－1
C． m＝XXXXX1 D．m≠XXXXX1
知1－练
2
知识点
一元二次方程的一般形式
知2－导
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
知2－导
一元二次方程的项和各项某某
a x2+b x+ c =0
例2 已知关于x的方程(a2－1)x2＋(1－a)x＋a－2＝0.
(1)当a为何值时，该方程为一元二次方程？
(2)当a为何值时，该方程为一元一次方程？
并求一元一次方程的解．
知2－讲
导引：已知条件中说明是关于x的方程，则方程中只含有
一个未知数，并且未知数的最高次数是2，但由于
二次项某某待定，故分析二次项某某是否为零是
确定该方程是否为一元二次方程的关键点．
解： (1)由题意得a2－1≠0，即当a≠XXXXX1时，该方程
为一元二次方程．
(2)由题意得a2－1＝0且1－a≠0，解得a＝－1.
此时方程为2x－3＝0，解得
知2－讲
知2－讲
在一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0中，a≠0是确定该方程为一元二次方程的唯一标准，在应用一元二次方程的定义求待定字母的值时，既要考虑未知数的最高次数是2，又要考虑二次项某某不为零．
把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，
b，c的值分别是( )
A．1，－3，10 B．1，7，－10
C．1，－5，12 D．1，3，2
一元二次方程－2(x－1)2＝x＋3化成一般形式
ax2＋bx＋c＝0后，若a＝2，则b＋c的值是
________．
知2－练
知3－讲
3
知识点
一元二次方程的解（根）
定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做
一元二次方程的根(解)．
要点精析：
(1) 判断方程的根的必要条件是：使方程左右两边相等．
(2) 根据方程的根的定义可以判断解出的方程的根是否正确．
(3) 一元二次方程的根不止一个，只要符合条件的都是方程的
根．
例3 如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根，
那么b的值为( )
A. 3 B. －3 C. 4 D．－4
知3－讲
导引：根据根的意义，将x＝2直接代入方程的左右两
边，就可得到以b为未知数的一元一次方程，
求解即可．
B
知3－讲
方程的根就是满足方程左右两边相等的未知数的值，因此求含有字母系数的一元二次方程中字母的值，只需把已知方程的根代入原方程，就可求\�相关的待定字母的值．
已知关于x的一元二次方程2x2－3mx－5＝0的一
个根是－1，则m＝________．
2 一元二次方程x2－2x＝0的根是( )
A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2
知3－练
知4－讲
4
知识点
利用一元二次方程建立实际问题模型
绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世
界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达．
2．建立一元二次方程模型的一般步骤：
(1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系； (2)设出合适的未知数，一般设为x；
(3)确定等量关系；(4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
3．常用一元二次方程来建模的问题有：圆形的面积、增长(利润)率、行程问题、工程问题等．
知4－讲
例4 小雨在一幅长90 cm，宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽
度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整
个挂图面积 的54%，设边框的宽度为x cm，根据题意，列
出方程．
知4－讲
解：(90＋2x)(40＋2x)XXXXX54%＝90XXXXX40.
知4－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润公式等)进行列方程．
1 学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意,下面所列方程正确的是( )
知4－练
2 如图，某小区有一块长为18 m，宽为6 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x m，则可以列出关于x的方程是( )
知4－练
判别一元二次方程的“两方法”：
根据定义要把握三点：
一是整式方程；二是含有一 个未知数；三是未知数
的最高次数是2.
根据一般形式要把握两点：
一是能化成ax2＋bx＋c＝0的形式，且a一定不能为
0，而b，c都可以为0；二是判断是否为一元二次方
程与其解的情况无关．
1.必做: 完成教材P20习题22.1 T1-T3
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