2．21 椭圆及其标准方程教学设计

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2．21 椭圆及其标准方程

一、学情分析

学生在必修二中学过圆的定义和标准方程。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究椭圆。本班学生是理科重点班学生，基础较好，计算能力也较强。

二、教学目标

知识技能：

1、掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程

2、能根据条件求椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系数法求椭圆的标准方程

过程方法：

1、通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力、动手能力和探索能力。

2、通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力，情感态度和价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。

3．情感态度与价值观：通过主动探究、合作学习、相互交流，进一步认识数学的理性与严谨，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增加学生的求知欲和自信心；培养他们不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，从而形成学习数学知识的积极态度。

三、教学重点，难点分析

重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。

难点：椭圆标准方程的建立和推导。

四、教学过程

问题

学生活动

设计意图





1、我们在必修二学习过圆，请同学们回顾圆的定义和标准方程的建立过程。

学生齐声回答：①圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹。其中定点是圆的圆心，定长是圆的半径。②圆的标准方程建立的步骤：建系—设点—列式—化简。



在数学学习中，我们可以用类比方法由熟悉的旧知识学习、探究新的知识。同时激发学生学习的兴趣和探索的精神。



2、提问：平面内到两个顶点的距离之和等于定长的点的轨迹是什么？请同学们动手实验。

小组内学生分工，两个学生分别固定绳子的两端，一个学生移动笔尖，画出轨迹。一个学生总结结论。画出的图形是椭圆。

锻炼学生的动手画图能力、小组合作能力，同时激发学生探究新知的兴趣。



3、画椭圆的过程你注意到细绳的长度与两个固定点间的距离有怎样的大小关系

？为什么？椭圆应该如何定义？

小组内学生讨论得到结论：平面内到两个顶点F1、F，

的距离之和等于常数2a（且2a＞"#F1F2"#）的点的轨迹是椭圆；

当2a="#F1F2"#时，表示线段F1F2；

当2a<"#F1F2"#时，无轨迹。

让学生学会将感性知识升华到理性知识。培养学生认真观察、分析、总结的能力。



4、如何描述椭圆上的动点M所满足的几何条件。

"#MF1"#+"#MF2"#=2a

（2a＞"#F1F2"#）

整理实验，归纳抽象成数学问题。



5、我们怎样建立坐标系，求椭圆的标准方程呢？请类比圆的标准方程的建立过程，组内同学互相合作求椭圆的标准方程。

组长分配任务，学生1建立合适坐标系，学生2列出关系式。学生3化简方程，学生4认真观察化简方程的过程，帮助检验计算结果是否有误。

要学生了解建立合适的坐标系的重要性。组长分配任务，组员积极参与。培养学生合作的意识，感受合作的高效。



6、请各小组争先恐后地汇报计算结果。

小白板展示化简结果：

培养各小组的竞争意识。



7、提问：能将方程进一步化简吗？我们用
表示
，则方程可化简成什么形式？有什么好处？

学生齐声回答：
，方程更简洁，且具有对称性。

培养学生充分化简方程的意识，体会数学的简洁美。



8、大家知道a、b、c的几何意义吗？请观察下图，找出表示a、b 、c的线段

P

学生小组内思考、讨论。得到结果:

"#PF1"#="#PF2"#=a,

"#OF1"#="#OF2"#=c,

"#PO"#=
= b。

确定a、b、c的几何定义及其关系，从形的角度进一步理解标准方程中各参数的意义。



 9、我们建系时把焦点放在X轴上，如果焦点放在Y轴上，标准方程又是怎样？请同学们完成课本P40页思考。

学生有了求焦点在X轴上的方程的经验，易得出焦点在Y轴的方程。部分同学可能通过计算，部分同学会通过对称性猜想结论。

让学生感受数学学习的完备性，我们要把两种基本形式的标准方程都要得出。这里鼓励学生根据两种形式的对称性猜想焦点在Y轴的标准方程。





10、请各组在小白板上，画出两种形式的椭圆图形，写出相应方程，并标出表示a、b、c的线段。并思考两种方程的特点，如何区分焦点在哪个轴？

学生组内整理结论。观察、讨论两种标准方程和相应图形的特点。

得到结论：因为a>b,所以哪个的分母大，焦点就在哪个轴上。

培养学生及时整理知识的习惯，同时进一步巩固了本节课的重点。



11、口答题：下列方程是否表示椭圆,为什么?如果是，请说出焦点坐标。

(1)
;

(2)
;

(3)
;

(4)

学生口答：（4）是椭圆，焦点坐标为（0,2）（0，-2）。

让学生进一步认识椭圆方程的特点。并熟悉a、b、c的关系。



12、例题1（课本P40）

已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2,0），（2,0），并且经过点，
求它的标准方程。

由学生独立解答问题，组内汇总不同的解法、核对答案。并总结：

〈1〉关键是确定标准方程的形式

〈2〉要求椭圆标准方程，即要求a，b

〈3〉可用定义法或待定系数法

〈4〉相等关系a2-b2=c2

考察学生学习的情况。区分焦点不同，选择设不同的方程，会用定义来求椭圆标准方程，或用待定系数法来求椭圆标准方程。



13、练习

1.已知椭圆的焦点坐标是
，
，椭圆上的任意一点到
、
的距离之和是10，求椭圆的标准方程

2.写出适合下列条件的椭圆方程（1）a=4，b=1，焦点在x轴上。（2）a=4，c=3，焦点在y轴上。（3）a+b=10，c=2

学生独立完成，组内汇总答案，并核正错误。

以上练习较简单，其目的为了巩固本课重点：椭圆的定义和标准方程，并能区别焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆标准方程。



14、小结：以提问形式〈1〉椭圆是怎样的点的轨迹？〈2〉椭圆的标准方程是怎样的？〈3〉椭圆的两个标准方程有什么区别？

小组选取学生代表抢答。

让学生以问题为线索，回忆本课所学新知和重点内容。



15、课后作业

必做题：课本P49习题2.2A组第1题、第2题

探究题：已知定圆⊙Q：
，动圆⊙M和已知定圆内切,且经过于点P（－3，0），分析圆心M的轨迹及其方程。

研究性作业：查找资料，求神州六号飞行的轨迹方程。

学生课后完成。必做题学生独立完成，探究题和研究性作业学生小组合作完成。

分层布置作业，适合不同层次的学生，必做题是基础巩固，探究题为了给学有余力的同学更多的思维空间。

研究性作业是为了让学生感受生活中的椭圆，增加学生对数学的兴趣。





板书设计

2.21椭圆的标准方程



1．椭圆的定义的符号语言

2．标准方程

（1）焦点在
轴上

（2）焦点在
轴上

例题1解答过程

练习1

练习2







五、教学反思

上完这节课，我进行了教学反思。如下：

一、成功之处

本节课主要以问题的形式，引导学生探究、学习新知。全班分成8个小组，每个问题每个学生都积极参与。在组长的带领下，小组成员之间有分工合作、有相互讨论，亦有独立思考。本课的例题、练习设置，也突出了本课的基础知识及重点。最终每个小组都解决了问题，较好地达到了教学目的。

二、不足之处

1．本节课课堂容量偏大，从而导致学生在课堂上的思考、讨论的时间不足，课堂时间比较紧张。尤其是标准方程的推导和化简过程花了大量的运算时间。学生的运算能力不够理想。

2、例题和练习题型不够丰富，本班是重点班，会让部分同学觉得练习过于简单、单调，缺乏思维训练。

总之，在今后的课堂教学中，本人要坚持以学生为主体、充分发挥小组合作性学习的优势。对于自己的不足，我会通过努力，不断总结经验教训，提高自身的教学水平。

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