椭圆几何性质

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2.1.2《 椭圆的几何性质》

复习：

1.椭圆的定义:

到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的动点的轨迹叫做椭圆。

2.椭圆的标准方程是：

3.椭圆中a,b,c的关系是:

a2=b2+c2

当焦点在X轴上时

当焦点在Y轴上时

1、范围：

-a≤x≤a, -b≤y≤b 知

椭圆落在x=XXXXXa,y= XXXXX b组成的矩形中

椭圆的对称性

2、对称性：

从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。

从方程上看：

（1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称；

（2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；

（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。

3、椭圆的顶点

令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？

令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？

*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。

*长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。

a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

根据前面所学有关知识画出下列图形

（1）

（2）

A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

4、椭圆的离心率

离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：

叫做椭圆的离心率。

[1]离心率的取值范围：

[2]离心率对椭圆形状的影响：

0<e<1

1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁

2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆

[3]e与a,b的关系:

|x|≤ a,|y|≤ b

关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)

(c,0)、(-c,0)

长半轴长为a,短半轴长为b. a>b

a2=b2+c2

|x|≤ a,|y|≤ b

关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称

(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)

(c,0)、(-c,0)

长半轴长为a,短半轴长为b. a>b

a2=b2+c2

|x|≤ b,|y|≤ a

同前

(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)

(0 , c)、(0, -c)

同前

同前

同前

例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,

它的长轴长是： 。短轴长是： 。

焦距是： 。 离心率等于： 。

焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。

外切矩形的面积等于： 。

10

8

6

80

2、确定焦点的位置和长轴的位置

已知椭圆方程为6x2+y2=6

它的长轴长是： 。短轴长是： 。

焦距是： .离心率等于： 。

焦点坐标是： 。顶点坐标是： 。

外切矩形的面积等于： 。

2

练习1.

例3.已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的方程。

分类讨论的数学思想

小结：

本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个基本量a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课中，我们运用了几何性质，待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想。 [全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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