三角函数的周期性

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正弦函数、余弦函数的周期性

鹿泉区教师进修学校 李某某

观察正弦函数图象，思考正弦函数图象有哪些特征？

1.正弦函数图象每隔2?重复出现一次

2.当自变量x增加2?时，正弦函数的值不变

即当x增加2?时，总有sin(2?+x)=sinx也就是f(x+ 2?)=f(x)

这种周而复始的性质我们就称之为周期性，具有这样的性质函数叫周期函数

那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期。

周期函数定义：

两点说明：

1、T必须是常数，且不为零。

2、对定义域内的任意x都有f(x+T)=f(x)恒成立。

（1）对于函数y=sinx,x ?R ,有 ，能否说 是它的周期？

1、周期函数的周期是否惟一？

2、正弦函数、余弦函数的周期有哪些？

6XXXXX

12XXXXX

4XXXXX

8XXXXX

1.正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的

2.周期函数的周期不止一个，若T是周期，

kT(k∈Z且k≠0)一定也是周期。

结论：

(1)周期函数不一定存在最小正周期;

反例：

常数函数f(x)=6

(2)一般地，如无特殊说明，均指函数的最小正周期.

说明：

对于周期函数f(x), 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.

例1 求下周期函数的周期：

(1)f(x)=3sinx,x∈R;

(2) f(x)=sin2x,x∈R

(3)f(x)=2sin( - ),x∈R;

结论：一般地，形如y=Asin(XXXXXx+XXXXX) 及y=Acos(XXXXXx+XXXXX) （其中A ,XXXXX,XXXXX为常数，且 A≠0, XXXXX ＞ 0 ）的函数，它的周期是仅与自变量的系数有关，它的周期为:

（1）

，

； （2）

，

（3）

（4）

，

（5）

（6）

．

（7）

；

练习一

例2、求函数g(x)=|sinx|,x∈R的周期？

解：画出函数图象

有图像可知函数周期T=XXXXX

周期求法：

1.定义法： f(x+T)=f(x)

2.公式法:一般地，形如y=Asin(XXXXXx+XXXXX) 及y=Acos(XXXXXx+XXXXX) （其中A ,XXXXX,XXXXX为常数，且 A≠0, XXXXX ＞ 0 ）的函数，它的周期是仅与自变量的系数有关，它的周期为:

3.图象法

练习三

（8）若函数f(x)是以3为周期的函数，且f(1)=2,求f(4)、f(7)的值？

（7）函数f(x)=sin(kx+8)（k>0）周期是2，求k的值？

练习二

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期。

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.

归 纳 整 理

1.说说周期函数的定义.

2.什么叫周期函数的最小正周期？

3.求周期的三种方法

作业：书上36页练习：1，2，3.

课后思考：

1、已知定义在R上的函数f(x)满足

f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时，f(x)=x－4，求f(10)的值.

2、若函数的周期为T，则 KT(K∈Z) 也是它的周期吗？为什么？ [全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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