函 数 的 单 调 性

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函数的单调性

（第一课时）

数与形,本是相倚依

焉能分作两边飞

数无形时少直觉

形少数时难入微

数形结合百般好

隔离分家万事休

切莫忘,几何代数统一体

永远联系莫分离

—— 华罗庚

生活也数学

２、你能将下面的图象与上面的成语对应起来吗？

（1）

（2）

（3）

3、观察上述函数图象的变化趋势（从左向右看）

上升

局部上升或下降

下降

1、分析一组成语：

一落千丈 蒸蒸日上 跌宕起伏

4、你认为哪些函数从变化形式上比较单一？

图像在该区间内逐渐下降—

思考：如何用数学式子表示函数的这种x和y 的增大或减小的性质？

思考：当图像在某个区间上升或下降时，x和f(x)的值是怎样变化的？（从左向右看）

图像在该区间内逐渐上升—

当x的值增大时,函数值y也增大

当x的值增大时,函数值y反而减小

图像的上升和下降其实就是函数单调性的两种表现形式

x1＜x2 ?

当x增大时，函数值f(x)也增大

当x增大时，函数值f(x)减小

x1＜x2 ?

f(x1)＜f(x2)

f(x1)＞f(x2)

x1＞x2 ?

f(x1)＞f(x2)

x1＞x2 ?

f(x1)＜f(x2)

一般地，设函数f(x)的定义域为I:

函数的单调性定义

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1,x2 当x1<x2 时都有 f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（或减函数）

如果函数y＝f（x），在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这个区间上具有（严格）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．

共同进退

此消彼涨

形：图像呈上升或下降趋势

数：增函数（当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)

减函数（当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)

单调区间指的是x的范围还是y的范围呢？

判断：定义在R上的函数 f (x)满足 f (1)< f(2)，则函数 f (x)在R上是增函数；

注意：x1,x2为区间上的任意两个值，而不是某两个特殊值，必须包含所有

函数单调性的定义中有哪些关键词？

定义域内 区间D 任意 x和y的关系式 单调区间

典型例题

例1：下图是定义在闭区间 [-5，5]上的函数

y=（x）的图象，根据图象说出函数的的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．

解：

y＝f（x）的单调区间有

[－5，－2），[－2，1），

[1，3），[3，5].

其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上

是减函数，

在[－2，1），[3，5）上是增函数.

单调区间的书写：

函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性无意义。若函数在区间端点处有定义，可以写成闭区间，也可以写成开区间，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间.

典型例题

证明:设V1,V2是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且V1<V2，则

由V1,V2 ∈（0，+∞）得V1V2>0；

由V1<V2 ,得V2-V1>0．

证明函数单调性的一般步骤：

⑴取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意值，且 x1< x 2(或x1 >x 2）；

⑵作差：作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形（要注意变形到能判断整个差式符号为止）；

⑶定号：判断f(x1)－f(x2)的正负（要注意说理的充分性）,必要时要讨论；

⑷下结论：根据定义得出其单调性.

画出函数 图象，并判断在区间 和

的单调性，并用定义证明结论。

讨论：根据函数单调性的定义

y

O

x

-1

1

-1

1

取自变量－1< 1，

而 f(－1) f(1)

<

逗号隔开

巩固

1定义：增函数、减函数的定义；

②(定义法)证明函数单调性，步骤:

①图象法判断函数的单调性：

增函数的图象从左到右

减函数的图象从左到右

上升

下降

3.一个数学思想：数形结合

2、应用

1、作业P.39 A组 1.2,3B组1

2、如果证得对任意的

且 ， 有

能断定函数在区间上是增函数吗?

课后作业

最后

希望大家时刻保持增函数积极向上的特性，天天进步，走向成功。

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