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《函数的单调性》教学设计
保定一中 王某某
内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修1第一章集合与函数概念，第三节函数的基本性质的第一课时：函数的单调性。
函数是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念，函数贯穿整个高中数学的主线。在历年的考题中常考，函数的思想也是我们学习数学中的重要思想。在这一节中利用函数图象研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学教学。
函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势的。函数的单调性是学生初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识，是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，对解决各种数学问题有着广泛作用。此外在比较数的大小、极限、导数以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。
根据函数单调性在整个教材内容中的地位和作用，并结合学生的认知水平，本节课教学应实现如下教学目标。
二、教学目标
1．知识目标：（1）通过对初中已学过的函数（特别是二次函数）的图像的观察、分析，逐步理解函数的单调性及其几何意义。（2）能根据图像的升降特征，划分函数的单调区间；理解增（减）函数的定义，会用定义法证明函数在指定区间上的单调性。
2．能力目标：从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题，引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立增（减）函数的概念。
3．情感目标：理解运用由特殊到一般，由具体到抽象，由自然语言到符号语言，提升学生的数学思维能力，是学生学会科学地思考问题，科学地解决问题。
三、教学重点、难点
重点：借助图像、表格和自然语言、数学符号语言，形成增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单的问题。
难点： 形成增（减）函数的形式化定义的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。
四、教学准备
黑板与多媒体PPT有机结合展示，帮助学生更容易找寻其中的规律，获得更大的创新空间。
五、教学方法
启发式教学
六、教学过程
1.创设情境 提出问题
我们常说“兴趣是最好的老师”，长期以来，学生对学习数学缺乏兴趣，甚至失去信心，一个重要的原因，是老师在教学中不重视学生对学习的情感体验，教学应该充分考虑学生的情感和需要，想方设法让学生在学习中树立信心，感受学习的乐趣。根据教材内容的安排，我以学生熟悉的问题为背景知识切入：
下图是定安县今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．
问题1：说出气温在哪些时段内是升高或下降的？
问题2：怎样用数学语言刻画“随时间的增大气温逐步升高”这一特征？
【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣。
二、探究发现 建构概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1．借助图象，直观感知
问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律？
预案：(1)函数，在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数，在整个定义域内 y随x的增大而减小。
(2)函数，在上 y随x的增大而增大，在上随的增大而减小。
(3)函数，在上 y随x的增大而减小，在上随的增大而减小。
引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质。
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗?
预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减函数。
教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识。
【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。
2．探究发现 建构概念
问题1：如何从解析式的角度说明在上为增函数？
预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以在上为增函数。
(2) 仿(1)，取多组数值验证均满足，所以在为增函数．
(3) 任取,因为,即，所以在上为增函数。
对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量。
【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识。事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫。
问题2：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义。
(1)板书定义
定义：对于函数的定义域I内某个区间A上的任意两个值
⑴若当时，都有,则说在这个区间上是增函数；
⑵若当时，都有,则说在这个区间上是减函数。
(2)巩固概念
判断题：
①
②若函数．
③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数．
④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数。
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定***如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A并B上是增（或减）函数。
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识。
三、自我尝试 运用概念
例1 定义在R上的函数图象如图甲，所示，请说出它的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数
解：函数的单调区间有,其中在区间上是减函数，在区间上是增函数。
变式：课本P32练习第3题
例2 证明函数在上是减函数．
（1）分析解决问题
针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流。
证明：任取, 取值
作差
变形
定号
∴即
∴函数在上是减函数 下结论
（2）归纳解题步骤
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、下结论。
变式：证明函数在上是增函数．
【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤，了解等价形式进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。
四、回顾反思 深化概念
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结。
1．小结
(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性。
(2) 证明方法和步骤：取值、作差、变形、定号、下结论。
(3) 数学思想方法：数形结合。
2．作业
书面作业：课本第39页 习题1.3 第2题。
《函数的单调性》教学设计说明
一、教学内容的分析
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据。
对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号语言刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点。
二、教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标。重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。
三、教学方法和教学手段的选择
本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法。本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。
四、教学过程的设计
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：?
（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入。
（2）在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤。
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