《指数函数》教学设计

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“指数函数”教学设计

教学内容背景分析

1、教材内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书XXXXX数学（1）》（人教B版第三章第三节“指数函数”的第一课时——指数函数的概念、图象和性质。“指数函数”这一节的内容是学生学习函数知识的重要环节，既是对函数知识的进一步扩展，也是对函数思想方法的具体应用，故它对学生的后续学习至关重要。此外，《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，尤其体现在细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。

2、教学目标定位

知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性和特点。

过程与方法：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数的单调性与特殊点。情感、态度与价值观：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发

学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识。

3、教学重点与难点

教学重点：指数函数的概念、图象和性质。指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一。作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础；同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。指数函数是学生完全陌生的一类函数, 对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题。

突破难点的关键：

我结合学生的知识、能力基础，设置了一些列问题串，尝试着“问题驱动”下的数学核心概念教学，通过生成、搭桥、设梯，突破重点，化解难点。学生通过小组合作交流，积极讨论、观察多媒体的动态演示等手段，对所学知识，由具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，由此来掌握本节课所学知识。

二、学情分析

1、学生知识储备

通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构，主要体现在三个方面：知识方面：对正比例函数、反比例函数、一次函数，二次函数等最简单的函数概念和性质已有了初步认识，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。技能方面：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究《指数函数》的性质做好准备。素质方面：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。

2、学生的困难

本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，所以学生学习起来有一定难度。

三、教法分析及手段

本节课我采用引导发现式的教学方法。通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。

教学手段：多媒体辅助教学。

四、教学设计与意图分析

根据新课标的理念，我把整个的教学过程分为六个阶段，即：

1.创设情境，引入课题；2.问题研讨，知识建构；3.问题聚焦，性质生成；

4.问题探究，深化概念；5.问题归纳，反思提炼；6.布置作业，内化知识.

（一）创设情境，引入课题；

大屏幕展示名人名言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏——陶渊明

设计意图：从名人名言中让学生初步感受数学源于生活，并富有教育意义。

问题1：假设某同学现有知识水平为1，如果每天在前一天的基础上增长1%，那么1年后（按365天计算），该同学的知识水平如何？

学生1回答：1天后水平为
，2天后水平为
，3天后水平为
，以此类推，可以得到一年后该同学的知识水平为
。

教师：这名同学回答的非常好！我们用计算器算出这个数值即

37.78.该同学的知识水平虽然日增长只有1%，但是一年后却是原来的37倍多。

追问1：若将天数记为
，水平记为
，那么
与
满足的函数关系式是什么呢？

学生2回答：
与
满足的函数关系式是
.

追问2：假设某同学现有知识水平为1，如果每天在前一天的基础上下降1%，那么一年后（按365天计算）该同学的知识水平如何？你能表示出类似的函数关系式吗？

学生3回答：按照前面的的计算方法，我们可以得到一年后该同学的知识水平为
。
天后的水平为
，此时它们满足的关系式为
。

教师：我们也将这个数值计算了一下，即
可见该同学的知识水平虽然日减只有1%，但是一年后的剩余已经微乎其微了。

追问3：你还能想出类似的函数模型吗？

学生4回答：细胞的分裂次数
与细胞的个数
满足函数关系式
；对折面积为1平方米的白纸，折叠的次数
与所剩面积
满足函数关系式
.

教师：同学们的想象力真丰富！那么这些式子有什么共同特征呢？（从而引入课题）——指数函数

设计意图： 利用学生熟悉的励志公式实例，与开始陶渊明先生的诗句形成呼应。通过设置问题引入，激发学生的学习兴趣，自然过渡到指数函数模型。

（二）问题研讨，知识构建

问题2：一般的，函数
叫做指数函数。为什么对底数
有这样的限制呢？

学生5回答：如果底数
，自变量
不能取负数；如果底数
，那么该函数为
是常数函数，也没有更广的研究价值；如果底数
，自变量
也不能取一切实数。

问题3：能否判断下列函数哪些是指数函数吗？

（1）

（2）

（3）
（4）

设计意图： 通过问题研讨，让学生进一步熟悉指数函数概念的内涵与外延，打破学生对定义的轻视并使学生头脑中不断完善对定义理解。

（三）问题聚焦，性质生成.

问题4：在同一个坐标系中你能做出函数
的图象吗？（给同学们下发坐标纸，先让同学们在建好的坐标系上先作出
的图象，然后在同一坐标系中作出其余3个函数图象。）

追问1：请同学们看投影（展示同学的作图），这位同学作出的
的图象与你作出的图象一样吗？为了使作出的图象尽量准确，我们可以怎么做呢？

学生6回答：不太相同，为了使作出的图象尽量准确，我们可以多取些点（正数、负数、零都要取到）。

教师：非常好！但是计算较繁，我们请计算器帮忙，请同学们看几何画板展示.

下面，请同学们在同一个坐标系中继续作出其余3个函数图象。

追问2：作图的目的是为了用图，那么通过图象你发现了什么？指数函数有哪些性质呢？引导学生对不同底数的指数函数图象有条理的进行分类，且从形的角度得出函数的性质，体会数形结合思想在数学学习中的运用。然后总结：

学生通过5分钟左右的观察、讨论、得出下列一系列结论：

（1）指数函数的定义域是
，值域是
；（2）指数函数的图象都过点
；（3）当底数
时，指数函数在
上是增函数，当底数
时，指数函数在
上是减函数；（4）函数
与
的图象关于
轴对称，一般地，
与
的图象也关于
轴对称；（5）在第一象限内，指数函数的图象从下往上看，底数
逐渐增大；（6）当底数
，
时，有
，
时，有
；当底数
，
时，有
，
时，有
.

教师：同学们的研究成果很丰富，但是有点零乱，下面我们把它整理一下，请一位同学到黑板上展示自己整理的结果，其余同学完成导学案上的表格。









图

象









性

质

1、定义域：R





2、值域：





3、过点
，即
时，
.





4、在R上是增函数

在R上是减函数





5、在第一象限内，指数函数的图象从下往上看，底数
逐渐增大；





6、
时，有
，
时，有
；


时，有
，
时，有
.



难点突破：通过数形结合，利用几个底数特殊的指数函数的图象将本节课难点突破。

为帮助学生记忆，教师用一句精彩的口诀结束性质的探究：

????左右无限上冲天，永与横轴不沾边。

????大1增，小1减，图象恒过（0，1）点。

设计意图：由作函数
的图象入手，通过问题研讨，让学生进一步明确一般指数函数
的图象的作法；再通过追问“你从这些图象总发现了指数函数有哪些特征呢？”充分发散学生的思维。先让学生自己提炼出指数函数的一些性质，然后师生再共同总结得出指数函数的一般性质。

（四）问题探究，深化概念

问题5：例1：利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小。

（1）
与
（2)
与

学生7回答：分别考查函数
和函数
的单调性，可知
<
，
<
。（教师板书过程并进行方法指导：同底指数不同，构造指数函数，利用函数单调性）

设计意图：通过本例让学生学会利用指数函数的性质比较两个实数的大小的方法和步骤，培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。

追问1：例2：比较下列各题中两值的大小。

（1）
与
（2）
与
（
，且
）；

方法指导：对于（1），不同底但可化同底，也化归为第一类型利用单调性解决；对于（2），需进行分类讨论，分为“
，
”两种情况讨论。

（3）
与
； （4）1.70.3与0.93.1

方法指导：底不同但指数相同，结合函数图象进行比较，利用底大圈高。底不同，指数也不同，可采用（与常见数值比较如1,0等）

（五）问题归纳，反思提炼

问题6：通过本节课的学习你有哪些收获呢？

师生简短的梳理、讨论后，总结如下：

（1）指数函数的概念；

（2）指数函数图象的画法；

（3）指数函数图象的性质；

（4）利用指数函数的性质解决一些问题（两个实数大小比较）；

（5）体会数形结合、分类讨论的数学思想等。

教师：对于一个新的函数，我们可以先求出它的定义域，再作出它的图象，通过图象来研究它的性质，最后通过性质来解决问题。这就是我们研究函数的一般模式。本节课开始时，我们给出了这样一组数据，即
，
.那么两年后的变化又怎么样呢？我们通过计算不难得到
，
.数据是最有说服力的，成功贵在坚持！最后，让我们再一起朗读陶渊明老先生的上述名言，以此来激励自己。

设计意图：用名人名言开头结尾形成首尾呼应，更能激发学生的学习兴趣，增强人文气息的培养。

（六）布置作业，内化知识.

A类：（巩某某）面向全体同学：1、完成课本P93：习题3-1? A? ；

B类：（提高型）面向优秀学生：2、完成学案P1：题型1.

板书设计：

教学反思：

本节课，教师结合学生的已有知识和能力基础，设置了一系列的问题串，尝试了问题驱动下的高中数学核心概念教学，学生经历了概念生成，知识搭桥、层层设梯等过程，加深了对数学概念的理解，并有效地运用所学知识解决问题，课堂上，学生数学思维活跃，思维火花碰撞，取得了较好的学习效果和教学效果。

本节课从名人名言开始，让学生初步感受到数学源于生活，利用学生熟悉的励志公式实例，激发学生对问题的探究，提高学习兴趣，并逐渐过渡到指数函数模型。通过一些列问题的设计和追问，层层深入，环环相扣，进一步让学生熟悉指数函数概念的内涵和外延，通过学生自己动手作图和利用几何画板展示指数函数的图象，进而研究指数函数的性质，在这些活动中，充分发散了学生的思维，提高了学生的动手操作能力和合作交流能力，并感悟到了数学中数形结合思想的应用。在问题探究，深化概念阶段，学生们积极思考，展现自我，培养了他们逻辑思维呢你和归纳推理的能力。用名人名言开头结尾形成首尾呼应，更能激发学生的学习兴趣，增强人文气息的培养。本节课的难点突破方法为：通过数形结合，利用几个底数特殊的指数函数的图象将本节课难点突破。为帮助学生记忆，教师用一句精彩的口诀结束性质的探究：左右无限上冲天，永与横轴不沾边。大1增，小1减，图象恒过
点。

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