指数函数的图像与性质

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指数函数的图像与性质

一、教材分析　　

（一）教材的地位和作用　　

本课时主要学习指数函数的概念，通过图像的研究归纳其性质。“指数函数”是函数中的一个重要基本初等函数，是后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的准备知识。通过这部分知识的学习进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识并体会研究函数较为完整的思维方法，此外还可类比学习后面的其它函数。　　

（二）教学目标　　

知识维度：初中已经学习了正比例函数、反比例函数和 一次函数，并对一次函数、二次函数作了更深入研究，学生已经初步掌握了研究函数的一般方法，能够从初中运动变化的角度认识函数初步转化到从集合与对应的观点来认识函数。　　

能力维度：学生对采用“描点法”描绘函数图象的方法已基本掌握，能够为研究指数函数的性质做好准备。　　

素质维度：由观察到抽象的数学活动过程已有一定的体会，已初步了解了数形结合的思想。　　

1、知识与技能目标：　　

（1）掌握指数函数的概念（能理解对a的限定以及自变量的取值可推广至实数范围）；　　

（2）会做指数函数的图像；　　

(3)能归纳出指数函数的几个基本性质。　　

2、过程与方法目标：　　

通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过程，培养学生探究、归纳分析问题的能力。　　

3、情感态度与价值观目标：　　

（1）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题　　

(2)通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、 综合的能力通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法。　　

（三）教学重点和难点　　

教学重点：指数函数的图象和性质。　　

教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系。　　

教学关键：从实际出发，使学生在获得一定的感性认识和基础上，通过观察、比较、归纳提高到理性认识，以形成完整的概念；在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。　　

课时安排：1课时　　

二、学情分析　　

学生已有一定的函数基本知识、可建立简单的函数关系，为以函数关系的建立作为本节知识的引入做了知识准备。此外，初中所学有理数范围内的指数相关知识，将已有知识推广至实数范围。在此基础上进入指数函数的学习，并将所学对函数的认识进一步推向系统化。　　

三、教法分析　　

（一）教学方式　　

直接讲授与启发探究相结合　　

（二）教学手段 　　

借助多媒体，展示学生的做图结果；演示指数函数的图像　　

四、教学基本思路：　　

(一)创设情境，揭示课题.　　

1创设情境（如何建立一个关于指数函数的数学模型——后续解决）　　

2引入指数函数概念　　

（二）探究新知.　　

1研究指数函数的图象　　

2归纳总结指数函数的性质　　

（三）巩固深化，发展思维　　

（四）归纳整理，提高某某　　

（五）巩固练习与作业　　

（六）教学设计说明　　

（七）教学后记与反思　　

五、教学过程　　

教学　　

环节　　

教学程序及设计　　

设计意图　　



创　　

设　　

情　　

境　　

，　　

揭　　

示　　

课　　

题　　

在本节开头的问题2中，对于任意的
，
都是有意义的。即对每一个时间t,都有惟一确定的P它对应。因此，死亡生物体内碳14的含量P是时间t的函数。这个函数关系中，底数是一个常量，指数是一个变量，我们把这样的函数叫做指数函数，你能给出它的一般形式吗？

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由两个较简单的建立函数对应关系的实际问题引出指数函数的一般模型——即指数函数的解析式。



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探　　

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究　　

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新　　

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知　　

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巩　　

固深　　

化　　

，　　

发　　

展　　

思　　

维　　

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一、指数函数的概念　　

1 形如y=ax 的函数.　　

这里a的取值范围如何呢？

主要有两个目的,使函数的定义域为R,且具有单调性.　　

（1）假设a=0,那么当x>0时，ax=0，当x≤0时，ax无意义；

(2) 假设a<0,那么ax对某些x值可能没有意义，如a=-1 时，（-1）x对于x=1/4,x=1/2,...无意义；

（3）假设a=1,那么y=1x=1对任意x 都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a≠1。　　

2指数函数的定义：

一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R。　　

了解了什么是指数函数，还需进一步研究其性质，从“数”的角度研究其解析式有难度，我们转而从“形”的角度研究其图象，然后从图象中看能否发现规律总结出指数函数的性质。　　

先研究几个具体的指数函数图象： 　　

二、指数函数的图像与性质：　　

1、绘制图像　　

请同学们分成四组分别做出以下函数图像并讨论总结图象规律：　　

（1）y=2x

(2) y=2x 和y=
　 　　　

(3) y=2x 和y=3x　　　

展示同学们的手作图，投影电脑已制作好的图象，

2．探究性质：

请同学们尝试归纳出图象的变化规律与特性：

1）过点（0，1）

2）y>0

3）底数a>1时，函数在 R上单调递增,"撇型”.

底数0<a<1时，函数在R上单调递减,"捺型”.其他规律（指数函数间图象的特性）：

当指数函数的底数互为倒数时，图象关于 y轴对称；

当底数a>1时，底数越大函数值增长越快越靠近y轴即底大图高，底数0<a<1时，情况相反。

3、归纳性质

将指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质（对应图象）归纳如下表，进行课件演示：

指数函数y=ax的性质（由课件展示）

三、指数函数的应用　　

1．例：已知指数函数
的图象经过点
，求
的值。

解：因为
的图象经过点
，所以

即
，解得
，于是
。

所以
。　　

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由学生抽象出指数函数的一般形式，其中指数函数x的范围以及对a的限定不强加给学生，由学生自己进行讨论得出。

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由具体的几个指数函数的图像发现规律总结这类函数性质

让学生自己动手做图，互相讨论发现规律。

做图应多做几个如　 　　　图象，　 　　　

借助多媒体，在电脑中将几个图同时展示于一个坐标系，从而使学生较直观地认识到指数函数的图象。

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通过引导学生分析图像特征，帮助学生总结函数性质，培养学生形数结合的能力。

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以表格的形式归纳总结指数函数的性质，以展示研究函数的一般方法：研究定义域；值域；单调性等。

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简单应用指数函数单调性判断大小不等式的解法及底互为倒数的指数函数的图像间的关系.

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归　　

纳　　

整　　

理　　

，　　

提　　

高　　

认　　

识　　

以上我们研究指数函数经历了一个由“具体”（研究几个具体的指数函数）到“一般”（归纳指数函数的一般性质），再由“一般”到“具体”（应用指数函数的一般性质研究解决指数函数的具体问题）的思维过程。

1． 指数函数的定义。（研究了对a的限定以及定义域）

2． 指数函数的图像

3． 指数函数的性质：

（1）定义域（-∞,+∞），值域（0,+∞）；

（2）函数的特殊值（0，1）；

（3）函数的单调性：a>1,单调增； 0<a<1，单调减。　　

概括、总结一堂课主要的思想方法与内容，便于学生系统性考虑所学知识。总结出性质后，再根据一般到特殊的思想，让学生做几个指数函数的草图应展示学生做图做错的，指出误区，暴露问题对于图像的剖析还欠缺，对于研究函数的一般方法——研究定义域、值域、单调性、奇偶性等，没有给出足够的强调与归纳。　　



巩　　

固　　

练　　

习　　

与　　

作　　

业　　

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1课本：习题T2、T4　　

2预习下节课的内容

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检验课堂掌握，巩固练习　　



六、教学设计说明　　

1、抛出生活中的实例，需要建立一个关于指数函数的数学模型，为学生提出问题；提高学生学习新知识的积极性以及体会数学与生活密切相关。　　

2、用简单易懂的实例引入指数函数概念，体会由特殊到一般的思想。　　

3、探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过研究几个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指数函数的图象规律，从而归纳指数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。让学生在研究出指数函数的一般性质后进行总结归纳函数的其他性质，从而对函数进行较为系统的研究。　　

4、进行一些巩固练习从而能对函数进行较为基本的应用。　　

七、教学后记与反思：　　

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