高考复习之导数及其应用---李某某

以下为《高考复习之导数及其应用---李某某》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。

高考复习之导数及其应用

***学—李某某

基础知识引入 导数及其应用

1.导数的概念

(1)

(2)

(3)fXXXXX(x0)与fXXXXX(x)的关系.

2.导数的几何意义

(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数fXXXXX(x0)就是曲线y=f(x)

在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.即k=fXXXXX(x0).

(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为

y-f(x0)=fXXXXX(x0)(x-x0).

(3)导数的物理意义：s(t)=v(t),v(t)=a(t).

3.基本初等函数的导数公式和运算法则 （1）基本初等函数的导数公式

核心知识

（2）导数的四则运算法则

①［u(x)XXXXXv(x)］XXXXX=uXXXXX(x)XXXXXvXXXXX(x).

②［u(x)v(x)］XXXXX=uXXXXX(x)v(x)+u(x)vXXXXX(x).

③

(3)复合函数求导

复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数

之间的关系为yxXXXXX=fXXXXX(u)gXXXXX(x).

4.函数的性质与导数

（1）在区间(a,b)内，如果fXXXXX(x)>0，那么函数

f(x)在区间（a,b）上单调递增.

在区间（a,b）内，如果fXXXXX(x)<0，那么函数f(x)

在区间（a,b）上单调递减.

（2）求极值的步骤

①先求定义域再求fXXXXX(x)；②求fXXXXX(x)=0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论.

（3）求函数f(x)在区间［a,b］上的最大值与最小

值的步骤

①求fXXXXX(x)；

②求fXXXXX(x)=0的根（注意取舍）；

③求出各极值及区间端点处的函数值；

④比较其大小，得结论（最大的就是最大值，最

小的就是最小值）.

典型例题展示：

一、导数几何意义的应用

例1 （2008XXXXX海南理，21）设函数

（a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的

切线方程为y=3.

（1）求f（x）的解析式；

（2）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称

图形，并求其对称中心；

（3）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1

和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定

值.

思维启迪 (1)先求fXXXXX(x).再由fXXXXX(2)=0,f(2)=3.

解得a,b.

(2)利用图象的对称和平移变换求解.

(3)先求过曲线上任一点（x0,y0）的切线方程，

然后将面积用点（x0,y0）坐标表示，再用上点

（x0,y0）在f(x)上即得证.

（1）解

因为a,b∈Z，故

(2)证明 已知函数y1=x, 都是奇函数,

所以函数 也是奇函数,其图象是以原点

为中心的中心对称图形.

而

可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)平移,即得到

函数f(x)的图象,

故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称

图形.

(3)证明 在曲线上任取一点

由 知,过此点的切线方程为

令x=1,得

切线与直线x=1的交点为

令y=x,得y=2x0-1,

切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);

直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),

从而所围三角形的面积为

所以,所围三角形的面积为定值2.

规律总结 求曲线切线方程的步骤是：

（1）求出函数y=f(x)在点x=x0的导数，即曲线

y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处切线的斜率；

（2）在已知切点坐标P（x0,f(x0)）和切线斜率的

条件下，求得切线方程为y-y0=fXXXXX(x0)XXXXX(x-x0).

注意：①当曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线

平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可

知，切线方程为x=x0；

②当不知道切点坐标时，应首先设出切点坐标，

再求解.

变式训练1 （2009XXXXX启东模拟）已知函数f（x）

的图象在点M（-1，f（-1））处的

切线方程为x+2y+5=0.

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）求函数y=f（x）的单调区间.

解 （1）由函数f（x）的图象在点M（-1，

f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0，

知-1+2f（-1）+5=0，

即f（-1）=-2，

解得a=2，b=3或a=-6，b=-1,

∵b+1≠0，∴b=-1舍去.

所以所求的函数解析式是

（2）

令-2x2+12x+6=0，解得x1=3- ，x2=3+ .

当x＜3- ，或x＞3+ 时，fXXXXX（x）＜0；

当3- ＜x＜3+ 时，fXXXXX（x）＞0.

所以 在（-∞，3- ）内是减函

数，在（3- ，3+ ）内是增函数，在

（3+ ，+∞）内是减函数.

所以f(x)的单调递增区间是（3- ，3+ ），?单调递减区间是（-∞,3- ）和（3+ ,+∞）.

二、利用导数研究函数的单调性

例2 （2009XXXXX陕西文，20）已知函数f(x)=x3-

3ax-1,a≠0.

(1)求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)

的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.

解 （1）fXXXXX(x)=3x2-3a=3(x2-a).

当a<0时，对任意的x∈R,有fXXXXX(x)>0,

∴当a<0时，f(x)的单调增区间为（-∞,+∞）;

当a>0时，由fXXXXX(x)>0解得x<- ,或x> ,

由fXXXXX(x)<0,解得- <x< ,

∴当a>0时,f(x)***-∞, ),

( ,+∞),f(x)的单调减区间为（- , ）.

(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,

∴fXXXXX(-1)=3XXXXX(-1)2-3a=0.∴a=1.

∴f(x)=x3-3x-1,fXXXXX(x)=3x2-3.

由fXXXXX(x)=0解得x1=-1,x2=1,

由（1）中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大

值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.

∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,

结合f(x)的单调性可知m的取值范围是（-3，1）.

变式训练2 （2009XXXXX北京文，18）设函数

f(x)=x3-3ax+b(a≠0).

(1)若曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相

切，求a,b的值；

（2）求函数f(x)的单调区间与极值点.

解 （1）fXXXXX(x)=3x2-3a.

因为曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相

切，

所以 即 解得

fXXXXX(2)=0.

f(2)=8,

3(4-a)=0,

8-6a+b=8

a=4,

b=24.

(2)fXXXXX(x)=3(x2-a)(a≠0).

当a<0时，fXXXXX(x)>0函数f(x)在（-∞,+∞）单调递

增；此时函数f(x)没有极值点.

当a>0时，由fXXXXX(x)=0得x=XXXXX .

当x∈(-∞,- )时,fXXXXX(x)>0,函数f(x)单调递增；

当x∈(- , )时，fXXXXX(x)<0,函数f(x)单调递减；

当x∈( ,+∞)时，fXXXXX(x)>0,函数f(x)单调递增.

此时x=- 是f(x)的极大值点,x= 是f(x)的极小值点.

综上所述，?

当a<0时，f(x)的增区间是（-∞,+∞）.?

当a>0时， f(x)***-∞, ),

( ,+∞)，减区间是（- , ）.?

当a<0时，无极值点?

当a>0时，x= - 是极大值点?

x = 是极小值点.

三、利用导数研究函数的极值和最值

例3 已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),

且函数g(x)=fXXXXX(x)+6x的图象关于y轴对称.

(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；

(2)若a>0，求函数y=f(x)在区间（a-1，a+1）内

的极值.

思维启迪 （1）根据f(x)、g(x)的函数图象的性

质，列出关于m，n的方程，求出m、n的值.

（2）分类讨论.

解 (1)由函数f(x)的图象过点（-1，-6），

得m-n=-3. ①

由f(x)=x3+mx2+nx-2,得fXXXXX(x)=3x2+2mx+n,

则g(x)=fXXXXX(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.

而g(x)的图象关于y轴对称，所以

所以m=-3.代入①得n=0.

于是fXXXXX(x)=3x2-6x=3x(x-2).

由fXXXXX(x)>0得x>2或x<0,

故f(x)***-∞,0)和（2，+∞);

由fXXXXX(x)<0,得0<x<2,

故f(x)的单调递减区间是（0，2）.

（2）由（1）得fXXXXX(x)=3x(x-2),

令fXXXXX(x)=0得x=0或x=2.

当x变化时，fXXXXX(x)、f(x)的变化情况如下表：

由此可得：

当0<a<1时，f(x)在（a-1，a+1）内有极大值

f(0)=-2,无极小值；

当a=1时，f(x)在（a-1，a+1）内无极值;

当1<a<3时，f(x)在（a-1，a+1）内有极小值

f(2)=-6,无极大值；

当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1)内无极值.

综上得,当0<a<1时，f(x)有极大值-2，无极小值；

当1<a<3时，f(x)有极小值-6,无极大值；

当a=1或a≥3时，f(x)无极值.

探究拓展 （1）求单调递增区间，转化为求不等式fXXXXX(x)≥0(不恒为0)的解集即可，已知f(x)在M上递增 fXXXXX(x)≥0在M上恒成立，注意区别.

（2）研究函数的单调性后可画出示意图.

讨论区间与0，2的位置关系，画图→截取→观察

即可.

变式训练3 （2009XXXXX广州模拟）函数

f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P（1，f(1)）

的切线方程为y=3x+1.

（1）若y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式；

（2）在（1）的条件下,求y=f(x)在［-3，1］上的

最大值；

（3）若函数y=f(x)在区间［-2，1］上单调递增，

求实数b的取值范围.

解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得

fXXXXX(x)=3x2+2ax+b.

过y=f(x)上点P（1，f(1)）的切线方程为

y-f(1)=fXXXXX(1)(x-1),即

y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1).

而过y=f(x)上点P（1,f(1)）的切线方程为y=3x+1.

故 即

∵y=f(x)在x=-2时有极值，故fXXXXX(-2)=0.

∴-4a+b=-12. ③

由①②③联立解得a=2,b=-4,c=5,

∴f(x)=x3+2x2-4x+5.

(2)fXXXXX(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),

令fXXXXX(x)=0，解得

3+2a+b=3,

-a+c-2=1,

2a+b=0, ①

c-a=3. ②

列下表：

∴f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为

又∵f(-3)=8,f(1)=4,

∴f(x)在［-3，1］上的最大值为13.

（3）y=f(x)在［-2,1］上单调递增.

又fXXXXX(x)=3x2+2ax+b.由（1）知2a+b=0.

∴fXXXXX(x)=3x2-bx+b.

依题意在［-2,1］上恒有fXXXXX(x)≥0,

即3x2-bx+b≥0在［-2，1］上恒成立，

当 时,即b≥6时［fXXXXX(x)］min=fXXXXX(1)=3-

b+b＞0，

∴b≥6时符合要求

当 时，即b≤-12时，

［fXXXXX(x)］min=fXXXXX(-2)=12+2b+b≥0,

∴b不存在.

当 即-12<b<6时，

［fXXXXX(x)］min= ∴0≤b＜6,

综上所述b≥0.

规律总结

1.函数单调性的应用

（1）若可导函数f(x)在（a,b）上单调递增，则

fXXXXX(x)≥0在区间（a,b）上恒成立；

（2）若可导函数f(x)在（a,b）上单调递减，则

fXXXXX(x)≤0在区间（a,b）上恒成立；

（3）可导函数f(x)在区间（a,b）上为增函数是

fXXXXX(x)>0的必要不充分条件.

2.可导函数极值的理解

（1）函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；（2）对于可

导函数f(x)，“f(x)在x=x0处的导数fXXXXX(x)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件；

（3）注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.

3.利用导数解决优化问题的步骤

（1）审题设未知数；（2）结合题意列出函数关系式；（3）确定函数的定义域；（4）在定义域内求极值、最值；（5）下结论.

随堂提升训练：

一、选择题

1.函数f(x)=-x3+x2+tx+t在（-1，1）上是增函数，则t

的取值范围是 （ ）

A.t>5 B.t<5 C.t≥5 D.t≤5

解析 ∵f(x)在（-1，1）上是增函数，

fXXXXX(x)=-3x2+2x+t,

∴在（-1，1）上fXXXXX(x)≥0.∴t≥3x2-2x.

设函数g(x)=3x2-2x，

由于g(x)的图象是对称轴为 开口向上的抛物

线，

故要使t≥3x2-2x在区间（-1，1）上恒成立?

t≥g(-1)，即t≥5.

故t的取值范围是t≥5.故选C.

答案 C

2.（2009XXXXX天津理,4）设函数

则方程f(x)=0 （ ）

A.在区间 (1,e)内均有实根

B.在区间 (1,e)内均无实根

C.在区间 内有实根，在区间(1,e)内无实根

D.在区间 内无实根,在区间(1,e)内有实根

解析 因为 令fXXXXX(x)=0，则x=3

当x∈(0,3)时，fXXXXX(x)<0，∴f(x)在（0，3）上单

调递减

因为

因此f(x)在 内无零点.

又

因此f(x)在（1，e）内有零点.

答案 D

3. 已知函数f(x)的导数fXXXXX(x)=a(x+1)XXXXX(x-a),若f(x)

在x=a处取到极大值，则a的取值范围是 （ ）

A.［-1，0］ B.［-1，0）

C.（-1，0） D.（-1，0］

解析 结合二次函数图象知，

当a>0或a<-1时，在x=a处取得极小值，

当-1<a<0时，在x=a处取得极大值,故a∈(-1,0).

C

4.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

当x<0时，fXXXXX(x)g(x)+f(x)gXXXXX(x)>0,且g(-3)=0,则

不等式f(x)g(x)<0的解集是 （ ）

A.（-3，0）∪（3，+∞）

B.（-3，0）∪（0，3）

C.（-∞，-3）∪（3，+∞）

D.（-∞，-3）∪（0，3）

解析 设F（x）=f(x)XXXXXg(x)，由题意

知F(x)是奇函数，所以F（x）的图象

关于原点对称，由 fXXXXX(x)g(x)+f(x)gXXXXX(x)＞0知,

FXXXXX（x）>0，即当x<0时，F（x）是增

函数.又∵g（-3）=0，F（x）

的图象大体如图所示,∴F（x）<0,

即f(x)g(x)<0的范围为（-∞，-3）∪

（0，3）.

答案 D

5.（2008XXXXX广东文，9）设a∈R,若函数y=ex+ax,

x∈R有大于零的极值点，则 ( )

A.a<-1 B.a>-1

C. D.

解析 ∵y=ex+ax，∴yXXXXX=ex+a.

当a≥0时,y不可能有极值点,故a<0.

由ex+a=0得ex=-a,∴x=ln(-a),

∴x=ln(-a)即为函数的极值点,

∴ln(-a)>0,即ln(-a)>ln1,∴a<-1.

D

二、填空题

6.（2009XXXXX北京理，11）设f(x)是偶函数.若曲线

y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线的斜率为1，则该

曲线在点（-1，f(-1))处的切线的斜率为 .

解析 由偶函数的图象和性质可知应为-1.

-1

7.(2009XXXXX*_**已知函数

+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是

.

解析 fXXXXX(x)=3x2+6ax+3(a+2),令fXXXXX(x)=0,得

x2+2ax+a+2=0,XXXXX=4a2-4(a+2)>0

∴a>2或a<-1.

f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x

a>2或a<-1

8.（2009XXXXX福建理，14）若曲线f(x)=ax5+lnx存在垂

直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .

解析 ∵fXXXXX(x)=5ax4+ ,x∈(0,+∞),

∴由题知5ax4 >>>>>>内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。<<<<<< ,+∞)时，fXXXXX(x)>0，f(x)在［ ,+∞）

内为增函数.

所以当x= 时，f(x)有极小值，即为最小值

当a∈(0,e)时，

此时方程f(x)=0无解；

当a=e时， .此时方程有唯一

解x= ；

当a∈(e,+∞)时，

因为 且1< ，所以方程f(x)=0在区

间（0， ）上有唯一解.

因为当x>1时，(x-lnx)XXXXX>0，所以当x>1时，x-

lnx>1.则x>lnx，

因为2a> >1，所以

所以方程f(x)=0在区间［ ,+∞）上有唯一解.

即方程f(x)=0在区间（0,+∞）上有两个解.

综上所述，当a∈［0,e)时，方程无解；当a<0或

a=e时，方程有唯一解；

当a>e时，方程有两个解.

不到长城非好汉，经历高考是你的幸运！

谢谢！

再见！！！[文章尾部最后500字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]

以上为《高考复习之导数及其应用---李某某》的无排版文字预览，完整格式请下载

下载前请仔细阅读上面文字预览以及下方图片预览。图片预览是什么样的，下载的文档就是什么样的。