导数的概念与运算

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导数的概念与运算

知识提要：

导数的物理意义：如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t0的瞬时速度v就是位移s的导数在t0的值，

v=

5．导数的四则运算法则：

用定义法求下列函数的导数.

(1)y＝x2；　(2)y＝

【解】 (1)因为

题型一、利用导数的定义求函数的导数

1.用导数的定义求函数y＝ 在x＝1处的导数.

解：

求下列函数的导数：

(1)y＝x2sinx；

(2)y＝3xex－2x＋e；

(3)y＝

(4)[理]y＝sin32x.

题型二、导数的运算

【解】　(1)yXXXXX＝(x2)XXXXXsinx＋x2(sinx)XXXXX＝2xsinx＋x2cosx.

(2)yXXXXX＝(3xex)XXXXX－(2x)XXXXX＋(e)XXXXX

＝(3x)XXXXXex＋3x(ex)XXXXX－(2x)XXXXX

＝3xln3XXXXXex＋3xex－2xln2

＝(ln3＋1)XXXXX(3e)x－2xln2.

(4)[理]yXXXXX＝3(sin2x)2XXXXX(sin2x)XXXXX＝6sin22xcos2x.

2.求下列函数的导数：

(1)y＝(1－ )(1＋ )；　(2)y＝

(3)y＝xex；　(4)y＝tanx.

解：

(3)yXXXXX＝xXXXXXex＋x(ex)XXXXX＝ex＋xex＝ex(x＋1).

(4)yXXXXX＝

求下列函数的导数

已知曲线y＝

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.

题型三、导数的几何意义

?【解】　(1)∵yXXXXX＝x2，

∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝yXXXXX|x＝2＝4，

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，

即4x－y－4＝0.

(2)设曲线y＝ 与过点P(2,4)的切线相切于点

A(x0， )，

则切线的斜率k＝yXXXXX|

∴切线方程为y－ (x－x0)，

即y＝

∵点P(2,4)在切线上，∴4＝

即 ＋4＝0，∴ ＋4＝0，

∴ (x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.

∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.

故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.

3.已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 的

方程及切点坐标.

解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上.

∵fXXXXX(x)＝(x3＋x－16)XXXXX＝3x2＋1，

∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为

k＝fXXXXX(2)＝13，

∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，

即y＝13x－32.

(2)法一：设切点为(x0，y0)，

则直线l的斜率为fXXXXX(x0)＝ ＋1，

∴直线l的方程为

y＝( ＋1)(x－x0)＋ ＋x0－16.

又∵直线l过点(0,0)，

∴0＝( ＋1)(－x0)＋ ＋x0－16，

整理得， ＝－8，∴x0＝－2，

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

k＝3XXXXX(－2)2＋1＝13，

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).

法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，

则k＝

又∵k＝fXXXXX(x0)＝ ＋1，

∴ ＋1，解某某，x0＝－2，

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

k＝3XXXXX(－2)2＋1＝13，

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).

（08海南高某某）

【课堂小结】

1 . 了解导数的概念，初步会用定义式解决一些问题；

2．? 会用定义式求导数；

3．? 了解导数的几何意义；

4．? 掌握常见函数的导数公式，并会正确运用；

掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。 [全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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