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2.3.1 抛物线及其标准方某某
第二章 XXXXX2.3 抛物线
学习目标
1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.掌握抛物线的标准方某某.
3.明确抛物线标准方某某中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方某某问题.
问题导学
达标检测
题型探究
内容索引
问题导学
知识点一 抛物线的定义
思考1 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？
答案 连接两定点所得线段的垂直平分线.
思考2 平面内，到一定点和一条定直线(点不在定直线上)距离相等的点的轨迹是直线还是曲线呢？
答案 曲线
梳理 (1)定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F) 的点的轨迹叫抛物线.
(2)焦点：定点F叫抛物线的焦点.
(3)准线：定直线l叫抛物线的准线.
距离相等
知识点二 抛物线标准方某某的几种形式
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
特别提醒：(1)方某某特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项.
(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：
焦点轴一次项，符号确定开口向；
若y是一次项，负时向下正向上；
若x是一次项，负时向左正向右.
[思考辨析 判断正误]
1.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.( )
2.抛物线的方某某都是y关于x的二次函数.( )
3.方某某x2＝2ay(a≠0)是表示开口向上的抛物线.( )
XXXXX
XXXXX
XXXXX
题型探究
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方某某.
(1) 过点(3，－4)；
类型一 求抛物线的标准方某某
解答
解 方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方某某为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0).
把点(3，－4)分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2pXXXXX3,32＝－2p1XXXXX(－4)，
方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线的方某某可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0).
解 令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).
∴所求抛物线的标准方某某为x2＝－20y或y2＝－60x.
解答
(2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
反思与感悟 求抛物线的标准方某某的关键与方法
(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方某某的有关参数.
(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方某某，化简方某某.
②直接根据定义求p，最后写标准方某某.
③利用待定系数法设标准方某某，找有关的方某某组求系数.
跟踪训练1 已知抛物线的方某某如下，求其焦点坐标和准线方某某.
(1)y2＝－6x；
解答
解 由方某某y2＝－6x，知抛物线开口向左，
(2)3x2＋5y＝0；
解答
知抛物线开口向下，
(3)y＝4x2；
解答
知抛物线开口向上，
(4)y2＝a2x(a≠0).
解答
解 由方某某y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，
类型二 抛物线定义的应用
例2 若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方某某为_______.
y2＝8x
答案
解析
解析 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，
由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离.
故其方某某为y2＝8x.
反思与感悟 (1)确定定点与定直线(定点在定直线外).
(2)满足动点到定点与定直线的距离相等，便可确定动点轨迹为抛物线.
解答
由抛物线的定义知动点 M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，
其方某某应为y2＝2px(p>0)的形式，
故点M的轨迹方某某为y2＝2x(x≠0).
类型三 抛物线的实际应用
例3 如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反光镜顶点(即截得抛物线的顶点)的距离为
A.10 cm B.7.2 cm
C.3.6 cm D.2.4 cm
答案
解析
√
解析 以截得抛物线的顶点为原点，以反光镜的轴为x轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方某某为y2＝2px(p>0)，点(10,12)在抛物线y2＝2px上，
∴144＝2pXXXXX10，
∴灯泡与反光镜顶点的距离为3.6 cm.
反思与感悟 求抛物线实际应用的五个步骤
(1)建系：建立适当的坐标系.
(2)设方某某：设出合适的抛物线标准方某某.
(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方某某.
(4)求解：求出需要求出的量.
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
跟踪训练3 如图是抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m.水位下降1 m后，水面宽_____ m.
答案
解析
解析 以抛物线顶点为原点，以过原点平行于水面的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方某某为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.
达标检测
1.抛物线y＝ 的准线方某某是
A.y＝－1 B.y＝－2
C.x＝－1 D.x＝－2
答案
解析
√
1
2
3
4
5
答案
2.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是
A.4 B.6
C.8 D.12
√
1
2
3
4
5
解析 由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.
解析
答案
解析
1
2
3
4
5
3.已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是
A.0 B.
C.1 D.2
√
解析 根据抛物线方某某可求得焦点坐标为F(0,1)，准线方某某为y＝－1，设M(xM，yM)，根据抛物线定义，得yM＋1＝2，解得yM＝1.
4.若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离少1，则动点P的轨迹方某某是________.
1
2
3
4
5
答案
解析
y2＝16x
解析 ∵点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离少1，
∴点P到直线x＝－4的距离和它到点(4,0)的距离相等.
根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，设抛物线的标准方某某为y2＝2px(p>0)，
1
2
3
4
5
解答
5.求适合下列条件的抛物线的标准方某某：
(1)焦点为(0，－2)；
(2)准线方某某为y＝－1；
∴p＝2，∴抛物线的标准方某某为x2＝4y.
1
2
3
4
5
解答
(3)过点(－2，－1)；
解 点(－2，－1)在第三象限，分两种情况：
当焦点在x轴上时，设其方某某为y2＝－2px，
当焦点在y轴上时，设其方某某为x2＝－2py，
则4＝2p，即p＝2，∴抛物线方某某为x2＝－4y.
1
2
3
4
5
解答
(4)焦点到准线的距离为8.
解 ∵焦点到准线的距离为8，∴p＝8，
所以抛物线方某某有四种形式y2＝16x，y2＝－16x，x2＝16y，x2＝－16y.
1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上.
2.确定抛物线的标准方某某，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方某某有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方某某的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方某某可设为y2＝2mx (m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方某某可设为x2＝2my (m≠0).
3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离.[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]
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