《椭圆及其标准方程》教学设计

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北师大版 高中数学 选修1-1 第二章《圆锥曲线》第1节

《椭圆及其标准方程》

（第一课时） 教学设计

*_**学 赵某某

一、设计思路

1、教材分析

圆锥曲线是平面解析几何的主要研究对象，圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活中，而且在科学技术中也有着广泛的应用，它还是今后进一步学习数学的基础。高中数学将椭圆、双曲线、抛物线作为研究圆锥曲线的主要形式，而椭圆这一形状与人们的日常生活联系的最为紧密，所以教材将“椭圆”安排在《圆锥曲线》这一章的最前面。

本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。

2、学情分析

（1）、从知识上看，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，同时学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。

（2）、从学生现有的学习能力看，通过一年多的高中学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

（3）、从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述?如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化，渴望通过自己动手作图、观察来辨析和完善概念，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

二、教学目标

　　　　教学大纲规定“教学不但要教给学生基础知识、基本技能，而且要注意发展学生的逻辑思维能力，培养学生良好的个性品质”，根据“大纲”的这一要求，结合教学特点和学生实际，制定以下教学目标：

1、知识与技能目标：

椭圆的定义；

椭圆的标准方程；

椭圆概念及性质的简单应用。　　　　　　　

2、过程与方法目标：

培养学生自己动手实践的能力；

培养学生探索、归纳、分析、总结的能力；

培养学生利用图象分析问题、解决问题的能力；

培养学生“数形结合”的意识及“转化、变通”意识。

3、情感态度与价值观目标：

让学生学会将课本知识与日常生活中的事物相联系，学会理论与实践相结

合，强化数学的实用性，提升学生学习数学的兴趣；

使学生认识并理解世间一切事物的运动都是有规律的，应通过自己动手去

发现、去探索、去归纳、去总结。

让学生进一步认识“转化”的思想方法，增强学生日常生活中为人处事的

“变通”能力。

三、教学的重、难点：

1、教学的重点：椭圆的定义及标准方程

由于在后两课时及第二节“椭圆的简单几何性质”中经常利用椭圆的定义及标准方程来讨论椭圆的性质，所以椭圆的定义及标准方程是本节的重点。

2、教学的难点：椭圆标准方程的推导

　 由于推导椭圆标准方程的过程中有大量的计算和复杂的根式化简，所以推导起来有一定的难度。

四、教学准备

　1、教法准备

　 “教学大纲”要求“课堂教学要坚持启发式，教师不仅要教给学生知识，而且要揭示获取知识的思维过程”，同时古人也说过“授之以鱼，不如授之以渔”，因此在本节教学中将准备使用如下的教学方法进行教学：

（1）启发式教学法

　 通过启发式教学法引导学生自己动脑、动手画出椭圆的图象，认识椭圆，从而培养学生学习的积极性和探索问题的能力，使学生从“被动学习”转为“主动学习”。

（2）演示法

　　本节课采用了多媒体教学，利用多媒体详细演示椭圆曲线生成的动画及参数变化对椭圆曲线的影响，从而增强教学的直观性，让学生将理性认识和感性认识相结合，培养学生理论与实践相结合的能力。同时，多媒体教学也大大的增加了课堂的容量，减少了教师板书的时间，增加了学生思考和练习的时间。这是我本节课教学的重要方法。

（3）讨论法

　　为了培养学生思维的严谨性和严密性，在学生理解了椭圆轨迹生成的原理后，让学生思考、讨论“定长（线段长）等于或小于两定点间距离时，曲线的轨迹是什么？”，通过学生思考、讨论，教师给以总结，让学生明白椭圆定义中“定长大于两定点间距离”的含义，同时，使学生全面、严密的思考问题的能力得以提高。　　　　　

2、教具准备

（1）同桌的每两人为一组，提前准备好两个图钉，一根长约20cm的软绳；

（2）要求学生课前复习已学过知识：“圆的定义及标准方程”、“两点间距离公式”、“两圆的位置关系”；

（3）提前使用“Powerpoint”软件制作好教学课件，使用“几何画板”软件制作好动画演示。

五、教学过程

第一部分：对椭圆的感性认识

第1步：使用幻灯片展示四幅人们日常生活中常见的椭圆实物图，让学生从4幅图中找出它们共有的几何图形；

第2步：提问学生，让学生自己找找日常生活中还有那些与椭圆有关的物体；

第3步：学生回答后，再展出几幅日常生活中常见的椭圆实物图，引导学生认识椭圆与我们日常生活紧密相连；

第4步：引入课题，本节内容即为《椭圆及其标准方程》。

第二部分：对椭圆的理性认识

1、从数学角度认识椭圆

使用动画演示的方式让学生初步了解平面截圆锥形成的圆锥截面及圆锥曲线。演示中，随着平面位置的变换会形成圆、抛物线、椭圆、双曲线图形。

2、用数学语言描述椭圆

第1步：通过提问的方式让学生回顾圆的定义及标准方程：

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆；

标准方程：
。

第2步：提出问题：

平面内到两定点的距离之和等于定长的点的集合（轨迹）是什么？

让学生思考，教师参照圆的定义引导，让学生两人一组利用课前准备的图钉和软绳来动手实践画动点轨迹，教师要求：1组学生将两定点（图钉）距离定为1cm，2组学生将两定点（图钉）距离定为5cm，3组学生将两定点（图钉）距离定为10cm，4组学生将绳子拉直。

学生在动手过程中老师进行指导，画完后分别在1、2、3、4组各选一组图像进行展示，让学生进行对比（注意第4组图像将为直线），老师利用几何画板制作的动画进行演示，使学生更深刻的认识椭圆。

3、给椭圆下严密的定义

第1步：引导学生给出椭圆定义：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于某某2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。

第2步：参照定义给出椭圆“焦点”、“焦距”的概念及“焦距”的常规表示（2c）.

第3步：让学生思考：１、在定义中，若2a=| F1F2|，则轨迹是什么？

２、在定义中，若2a<|F1F2|，则轨迹是什么？

参照学生自己动手实践的结果，引导学生得出结论：

若2a=| F1F2|，则轨迹是线段F1F2，

若2a<|F1F2|，则轨迹不存在。

第三部分：椭圆的标准方程

第1步：建系设标，老师引导学生建立合适的坐标系；

第2步：动点集合，利用椭圆定义写出动点M的集合{M(x,y) | |MF1|+|MF2|=2a}；

第3步：代数方程，通过提问的方式让学生利用两点间距离公式写出动点M(x,y)的坐标满足的方程：
。

第4步：化简方程，教师引导学生将方程进行化简（此处难度较大，比较麻烦，要细心进行推导，让学生了解推导过程及推导方法），得到焦点在x轴上的椭圆标准方程：

第5步：对椭圆中变量a,b,c的意义进行解释。

第6步：通过对比，坐标旋转的方式得到焦点在y轴上的椭圆标准方程：
，推导过程留作学生课后作业。

第四部分：随堂练习

在下列椭圆中，请指出a,b,c的值及焦点坐标

1、
2、
3、
4、

(通过单独提问的方式让学生回答，得到答案，加强学生对椭圆基本概念的理解，总结如何判断椭圆的焦点在x轴还是y轴的方法)。

第五部分：课堂例题

例题1：已知椭圆的方程为

(1)、求该椭圆的焦距和焦点坐标。

　　(2)、AB为过左焦点F1的弦，求△F2AB (F2为右焦点) 的周长。

第1小问通过提问学生的方式完成，再次加强学生对椭圆焦点、焦距的掌握。

第2小问通过图示引导学生利用“转化”的思想将其化为椭圆的知识，进而利用椭圆的定义进行求解。

例题2：如图,在直角坐标平面内有一定圆Q，圆心为Q(3,0)，动圆M和定圆Q相内切且动圆M过定点P(-3,0)

(1) 判断圆心M的轨迹是什么？

(2) 若定圆Q的半径为R=10，求动圆圆心

M的轨迹方程。

对于第1小问，利用动画演示辅助进行分析，引导学生利用“转化”的原理将其化为椭圆的知识，进而利用椭圆的定义得出圆心M的轨迹为椭圆。

对于第2小问，引导学生利用第1小问的结论，求出椭圆标准方程中所需的a,b即可得M的轨迹方程为:
。

第六部分：课堂小结

1、知识小结，对椭圆的定义，椭圆的标准方程，椭圆的简单应用进行回顾，加深学生对椭圆相关知识的认识。

2、思想方法小结，用研究圆的思想方法来类比研究椭圆体现了“类比”的思想方法；充分利用几何图形来研究椭圆并解决实际问题体现了“数形结合”的思想；

在例题1,2的解题过程中用到了“转化”、“变通”的思想方法。

第七部分：课后作业

布置本节课课后作业：

１、课本第27页，第1、2、3题作为课后练习，第4题要求课外动手实践。

２、课本第31页，习题2-1 A组第1、2题作为作业题。

第八部分：板书设计

课题：椭圆及其标准方程 椭圆中a,b,c的意义：

椭圆定义：平面内到两定点F1，F2的距离之和等 a表示：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

于某某2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 b表示：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

椭圆的焦点，焦距概念 c表示：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

焦点在x轴上椭圆方程：
课堂练习：XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

焦点在y轴上椭圆方程：
例题1、XXXXXXXXXXXXXXX 例题2、XXXXXXXXXXXXXXX

焦点在x轴焦点坐标：F1(c,0)，F2(-c,0) 课堂小结：知识小结XXXXX 方法小结XXXXX

焦点在y轴焦点坐标：F1(0,c)，F2(0,-c) 课后作业：练习XXXXXXXXXX 作业XXXXXXXXXX

六、 教学反思

成功的地方：

1、在课题引入前让学生从生活中的实例抽象出椭圆图像，使学生认识到数学与我们日常生活紧密相连，展示的图片引起学生浓厚兴趣，学生积极参与，课堂气氛很热烈；

2、利用动画演示平面截圆锥形成圆锥曲线，动画效果很好，学生兴趣很浓，通过演示，学生很轻松的对本章知识框架有了初步了解，为以后的学习奠定基础；

3、组织学生分组探索动点轨迹时，让各小组所取定点的距离不同得到不同的结果，使学生直观的感受到椭圆定义中2a>|F1F2|的重要性，学生自己动手的积极性和热情很高，并且相互比较，增强了学生的竞争意识；

4、由焦点在x轴的椭圆推导焦点在y轴的椭圆方程时，利用旋转坐标轴的方法，采用转化的思想直观的得出其方程，过程简单、明了，学生很容易掌握；

5、精选的两个例题贴合课本知识，实际使用后效果很好；

6、课堂小结时，进行了知识小结还注重了思想方法小结，达到了“授人鱼且授之以渔”的目的。

不足之处：

1、在学生自己动手实践画椭圆时，只分组要求了两定点间距离，没有要求绳长，结果1、2、4组所画椭圆与预期目标相符，但是3组的椭圆没有达到“较扁”的预期目标；

2、在课堂练习提问时，所提问的一个学生视力近视，通过老师读题引导后才回答正确，此处有一些浪费时间。

总体来说，本节课课前准备充分，通过生活中的实例引入课题；通过课堂实践活动让学生自己动手探索、分析、归纳、总结相关知识；通过教师的引导，指导学生得出椭圆的相关概念及结论；通过启发，引导学生利用所学知识解决一些问题。整节课，课堂气氛活跃，学生参与度高，教学效果很理想，达到了预期的教学目标。

附件1：本节课多媒体课件的讲义

附件2：《椭圆及其标准方程》多媒体课件光盘

附件3：《椭圆及其标准方程》多媒体教学实录光盘

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