椭圆的几何性质

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第二章 XXXXX2.1　椭圆

2.1.2　椭圆的简单几何性质(一)

1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.

2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.

学习目标

题型探究

问题导学

内容索引

当堂训练

问题导学

知识点一　椭圆的简单几何性质

思考1　

椭圆C1的焦点在哪个坐标轴上，a、b、c分别是多少？椭圆C2呢？

答案

C1：焦点在x轴上，a＝5，b＝4，c＝3.C2：焦点在y轴上，a＝5，b＝4，c＝3.

思考2　

怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？

答案

对于方程C1：令x＝0，得y＝XXXXX4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0，得x＝XXXXX5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0).同理得C2与y轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x轴的交点为(4,0)与(－4,0).

思考3　

椭圆具有对称性吗？

答案

有.问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形.

思考4　

椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？

答案

C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；

C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.

梳理

F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

|x|≤a，|y|≤b

|x|≤b，|y|≤a

x轴、y轴和原点

(XXXXXa,0)，(0，XXXXXb)

(0，XXXXXa)，(XXXXXb,0)

2a

2b

知识点二　椭圆的离心率

思考　

观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？

答案

?

离心率

(0,1)

扁

0

题型探究

类型一　椭圆的几何性质

例1　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.

解答

∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，

四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3).

引申探究　

已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

解答

可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，

短半轴长b＝2.

解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.

解答

焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，

类型二　求椭圆的离心率

答案

解析

方法一　如图，

∵△DF1F2为正三角形，

N为DF2的中点，

∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，

则由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，

方法二　注意到焦点三角形NF1F2中 ，∠NF1F2＝30XXXXX，

∠NF2F1＝60XXXXX，∠F1NF2＝90XXXXX，

则由离心率的三角形式，可得

答案

解析

因为△F2PF1是底角为30XXXXX的等腰三角形，

则有|F1F2|＝|F2P|.

因为∠PF1F2＝30XXXXX，

所以∠PF2D＝60XXXXX，∠DPF2＝30XXXXX，

答案

解析

答案

解析

由题意知，以F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，

则c≥b，即c2≥b2，

所以c2≥a2－c2，

若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.

答案

解析

跟踪训练3　若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是___.

由题意知2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，

又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，

类型三　利用几何性质求椭圆的标准方程

解答

∵所求椭圆的方程为标准方程，

又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点.

①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3.

②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，

解答

由椭圆的对称性，知|B1F|＝|B2F|，

又B1F⊥B2F，

∴△B1FB2为等腰直角三角形，

∴|OB2|＝|OF|，即b＝c.

此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论.

跟踪训练4　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：

(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；

解答

(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.

解答

当堂训练

1

2

3

4

5

答案

解析

√

1

2

3

4

5

答案

解析

√

1

2

3

4

5

3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则

此椭圆的标准方程为___________.

答案

解析

1

2

3

4

5

4.已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________.

答案

解析

5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为__________.

答案

1

2

3

4

5

解析

1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.

2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.

3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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