椭圆及其标准方程
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椭圆及其标准方程
张某某
教学目标
1、理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念。
2、掌握椭圆标准方程的推导及标准方程。
3、进一步学习类比，数形结合的数学思想方法。
4、理解坐标法及其应用
重点：掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程。
难点：椭圆的标准方程的推导与化简。
教学过程
一、创设情景，引入概念
展示1：地球绕太阳旋转，月亮绕地球旋转。它们旋转的轨迹是什么？
展示2：一个平面截圆锥的各种情形
设计意图：本环节由实例引入，让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值。
二、尝试探究，形成概念
问（1）圆是如何定义的？
问（2）椭圆是否也是满足一定条件的点的轨迹呢？如果是，它满足的条件是什么？
学生实验：拿一根无弹性绳子，将绳子两端固定，拉紧绳子，移动笔尖，画图。
问（3）：（1）画出的轨迹是什么？
（2）笔尖（动点）满足的几何条件是什么？为什么？ 教师指出：笔尖到两固定点的距离在变，但它到两固定点距离的和等于绳子长度。
问（4）：你能给椭圆下一个定义吗？
定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两个焦点的距离叫椭圆的焦距。
问（5）：你认为椭圆的定义关键处有哪些？
①平面内（不是平面外）
②与两个定点距离的和等于常数（两个定点，一个定值）
③常数大于| F1F2|（分析小于或等于| F1F2|是什么结果）
设计意图：本环节通过实验展示椭圆的产生过程，发现椭圆的几何特征，挖掘出椭圆的定义。
三、标准方程的推导
我们了解了椭圆的定义，下一步我们来研究它的方程，在上一节大家学习了坐标法求曲线的方程。
问（1）：用坐标法求曲线方程的一般步骤是什么？
建系设点，确定条件，列方程，化简，证明
思考：你认为怎样选择坐标才能使椭圆的方程简单？
教师说明：正确建系是建立曲线方程的关键之一，一般可利用曲线的几何特征，从“对称”、“简洁”等角度思考建系。
设计意图：在探索方程的过程中，引导学生推导出椭圆的标准方程，充分体现坐标法思想，锻炼了学生化简变形能力。
思考：如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为(0,—c)， (0,c)，a, b意义同上，那么椭圆方程是什么？
引导学生由定义发现:=1（a>b>0）
。
四、例题讲解
例1：判断下列各椭圆焦点位置，并说出焦点坐标。
（1）=1 焦点在x轴上F1(—, 0)，F2(, 0)
（2）=1 焦点在y轴上F1(0,—1)，F2(0,1)
（3）4x2+9y2=1 焦点在x轴上F1(—, 0)，F2(, 0)
（4）x2+=1 焦点在y轴上F1(0,—)，F2(0,)
问：如果给出一个方程，你如何判断焦点的位置以及确定焦点的坐标
学生总结：当焦点在x轴上，x2分母大；当焦点在y轴上，y2分母大，所以可以结合分母大小确定焦点的位置。
问（1）：反之，你能结合焦点位置确定方程形式吗？
焦点在x轴上 =1（a>b>0）
焦点在y轴上 =1（a>b>0）
例2：已知椭圆焦点F1(—2, 0)，F2(2, 0)并且经过点(,—)，求它的标准方程
请学生完成解答过程
教师指出：求椭圆的标准方程方法：①定义法②待定系数法。
设计意图：转化新知，通过思考实践让学生总结出求椭圆标准方程的两种方法①定义法②待定系数法；另外对求椭圆方程的步骤有一个了解。
五、巩固训练
本节练习1，2
设计意图：巩固所学，深化提高
六、课堂小结
学生小结
（1）椭圆的定义
（2）椭圆的标准方程
（3）求椭圆的标准方程的方法。
教师汇总：
重点、定义及标准方程
难点：标准方程的推导与化简
七、布置作业
习题2、2A组1、2
圆锥曲线部分对运算要求较高，数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。数学运算是数学活动的基本形式，是得到数学结果的重要手段。数学运算是计算机解决问题的基础。在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
提高学生的数学能力，要给学生充分的自主学习时间,高中数学不仅仅是大量刷题，数学学习要着眼于教能力，不能变成练技巧。以课标为标准，要着眼于学生的核心素养。
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