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双曲线及其标准方程教学案例
【教学目标】 1．掌握双曲线的定义, 并能根据双曲线定义恰当地选择坐标系, 建立及推导双曲线的标准方程； 2．通过与椭圆的类比、对照, 掌握双曲线的标准方程, 理解并掌握椭圆与双曲线之间的区别与联系, 并培养学生分析、归纳、推理等能力． 3．掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的 ,? 能根据条件确定双曲线的标准方程． 4．通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美, 培养学习数学的兴趣． 5．能利用双曲线的有关知识解决与双曲线有关的简单实际应用问题了． 【教学建议】 （一）教材分析 1．知识结构 2．重点难点分析 重点：双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导． （1）双曲线的标准方程是在其定义的基础上推导的, 所以我们对双曲线的定义应给与重视．双曲线的定义与椭圆定义类似, 在理解时应注意： ①注意定义中的条件 的限定．若 , 则动点的轨迹为两条射线；若? , 则轨迹不存在． ②注意定义中的关键词“绝对值”．事实上若去掉定义中“绝对值”三个字, 动点轨迹只能是双曲线的一支． 双曲线是平面内的点的集合,? , 如果 ,? 双曲线将变成两条射线. （2）根据双曲线定义求双曲线的标准方程, 思想方法与推导过程和椭圆完全类似, 但应注意椭圆标准方程的推导中, 是令 ；而在双曲线标准方程的推导过程中, 是令 . ,? 之间的关系不同, 不要搞混． （3）为什么要引入 ？这不仅是化简的需要, 而且还有几何的实际背景,? 就是虚轴的长． （4）两种标准方程的双曲线的异同 中心在原点, 焦点在 轴、 轴上的双曲线标准方程分别是 ,? ．这两种双曲线的相同点是形状、大小相同, 都有 , 不同点是两种双曲线相对于坐标系的位置不同, 它们的焦点坐标也不同． 双曲线的焦点在 轴上 标准方程中 项的系数为正； 双曲线的焦点在 轴上 标准方程中 项的系数为正； （5）在椭圆与双曲线的标准方程中, 前者 , 后者 无大小关系．根据椭圆与双曲线标准方程判定焦点在哪条坐标轴上, 前者是根据 项分母的大小来判定, 后者是根据 项系数的正负来判定． （6）形如 的方程, 只要 符号相反,? 就是双曲线方程.它可以化为 ． （7）求双曲线的标准方程需要“定量”和“定位”。要求出双曲线的标准方程, 就要求出 、 两个“待定系数”, 于是需要两个独立的条件, 按条件列出关于 、 的方程组, 解得 、 的具体数??? 值后, 再按位置特征写出标准方程, 因此“定量”是指 、 、 等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外, 判断焦点在哪条坐标轴上, 以便在使方程的右边为1时, 确定方程的左边哪一项为正, 哪一项为负, 同时也就确定了 、 在方程中的位置．
课题
双曲线及其标准方程
班级： 姓名： 小组：
学习
目标
1．能从具体情境中抽象出双曲线的模型。
2．理解双曲线的定义，会求双曲线的标准方程。
学习
重点
双曲线的定义和标准方程
学习
难点
双曲线标准方程推导过程中的化简。
导学流程
静
心
自
学
阅读课本52-55完成下面内容：
1．双曲线的定义：我们把 与两个定点，的 等于常数（ ）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两 间的距离叫做双曲线的 ．用数学符号可以把定义表示为 ．
2．双曲线的标准方程：焦点在轴上时，标准方程为 ；
焦点在轴上时，标准方程为 ．
（2）参数之间的关系是：①等量关系____ ；②不等关系____ __．
预习自测：1．已知，动点分别满足下列关系，问：的轨迹是否存在，若存在，是什么曲线？
（1）； （2）； （3）．[来源:
2．已知双曲线的方程如下，写出焦点坐标：
（1）； （2）； （3）．
3．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于 ．
4．（1）焦点在轴上，，此双曲线的的标准方程为____ ____（2），焦点在轴上；此双曲线的的标准方程为____
疑问
记录
激
情
互
学
1、求双曲线的标准方程
(1)已知双曲线的焦点在轴上，且此双曲线经过点；
(2)焦点为，双曲线上一点P到距离差的绝对值等于6．
(3)焦点为，且经过点．[来源:***ZXXK]
（4）求与双曲线共焦点，且过点 的双曲线方程．
2、若方程表示双曲线，求的取值范围
精
讲
助
学
例题：
检
测
评
学
写出适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1），此双曲线的的标准方程为____ ____．[来源:学|科
（2）焦点在轴上，，并且经过点；
（3）经过两点．
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