shux2

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*21.2.4 一元二次方程的

根与系数的关系

问题1 请写出一元二次方程的一般形式和求根公式.

ax2+bx+c=0

一、复习导入

问题2 完成下面的表格.

-1

3

2

-3

2

3

6

5

-1

1

-2

-1

1

观察表格中的结果，你有什么发现？

运用你发现的规律填空：

8

-3

-7

-5

（1）已知方程x2-8x-3=0的根为x1，x2，则 x1+x2= ，x1x2= ；

（2）已知方程x2+7x-5=0的两根为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= .

二、探索新知

思 考 1

（1）如果方程x2+mx+n=0的两根为x1，x2，你能说说x1+x2和x1.x2的值吗？

（2）如果方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，你知道x1+x2和x1x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由.

归 纳 总 结

若一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）有两实数根x1，x2，则 .

这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.

根与系数的关系（韦达定理）：

在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式XXXXX=b2-4ac≥0呢？为什么？

用根与系数关系解题的前提条件是XXXXX≥0，否则方程就没有实数根，自然不存在x1，x2.

思 考 2

三、掌握新知

例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积.

（1）x2-6x-15=0

解：x1+x2=-(-6)=6

x1x2=-15

（2）3x2+7x-9=0

解：x1+x2=-7/3

x1x2=-9/3=3

（3）5x-1=4x2

解：方程化为4x2-5x+1=0

x1+x2=

x1x2=

例2 已知方程x2-x+c=0的一根为3，求方程的另一个根及c的值.

解：设方程另一根为x1.

则x1+3=1，∴x1=-2.

又x1.3=-2XXXXX3=c，

∴c=-6.

例3 已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1，x2，求下

列式子的值：（1）x12+x22； （2） .

解：∵方程x2-5x-7=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=5，x1x2=-7.

（1）x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=52-2XXXXX(-7)=39；

（2）

例4 已知x1，x2是方程x2-6x+k=0两个实数根，且x12.x22-

x1-x2=115.（1）求k的取值；（2）求x12+x22-8的值.

解:（1）∵由题意有x1+x2=6，x1.x2=k.

∴x12x22-x1-x2=(x1x2)2-(x1+x2)=k2-6=115，

∴k=11或k=-11.

又方程x2-6x+k=0有实数解，

∴XXXXX=(-6)2-4k≥0,∴k≤9.

∴k=11不合题意舍去，故k的值为-11;

（2）由（1）知，x1+x2=6，x1.x2=-11，

∴x12+x22-8=(x1+x2)-2x1x2-8

=36+22-8=50.

1.若x1，x2是方程x2+x-1=0的两个实数根，x1+x2= ，

x1+x2= .

2.已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个根，则另一个根为

，m= .

3.若方程x2+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a= ，

b= .

-1

2

-3

四、巩固练习

-1

1

-6

4.已知a，b是方程x2-3x-1=0的两个根，求

的值.

解：由a+b=3，ab=-1，

故

.

通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？哪些地方需特别注意的？谈谈你的看法.

五、归纳小结[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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