4.1.1《圆的标准方程》

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4.1.1圆的标准方程

【学习目标】

1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程；

2.会由已知条件求圆的标准方程。

3.掌握点与圆位置关系的判定。

【重点难点】

重点：圆的标准方程的求法。

难点：会根据不同的条件，利用待定系数法、几何法求圆的标准方程。

2、确定圆需要几个要素？

圆心－－确定圆的位置(定位)

半径－－确定圆的大小(定形)

平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形（轨迹、集合）.

1、什么是圆？初中如何给圆定义的？

提出问题：

如何在平面直角坐标中，

求圆心是（a,b）,半径为r的圆的方程？

建系：平面直角坐标系，设点M（x,y）为圆上任意一点；

列式：|MC|= r，圆上所有点的集合P = { M | |MC| = r }

若圆心为O（0，0），则圆的方程为：

探究一：点与圆的位置关系

在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？

M

O

|OM|<r

|OM|=r

O

M

O

M

|OM|>r

点在圆内

点在圆上

点在圆外

(x0-a)2+(y0-b)2 < r2时,点M在圆C内;

(x0-a)2+(y0-b)2 = r2时,点M在圆C上;

(x0-a)2+(y0-b)2 > r2时,点M在圆C外.

点与圆的位置关系:

规律：

例4 △ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．

因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是

待定系数法

所求圆的方程为

探究二：求圆的标准方程

难点在于求解a，b，r

A(5,1)

E

D

O

C(2,-8)

B(7,-3)

y

x

R

几何方法

L1

L2

例4：△ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．

圆心：两条直线的交点

半径：圆心到圆上一点

x

y

O

A(1,1)

B(2,-2)

弦AB的垂直平分线

例5 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．

解法1:∵A(1,1),B(2,-2)

例5： 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.

即：x-3y-3=0

∴圆心C(-3,-2)

圆经过A(1,1),B(2,-2)

解法2:设圆C的方程为

∵圆心在直线l:x-y+1=0上

例5：己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.

规律归纳：

求圆的标准方程一般有两种思路：

（1）待定系数法，这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法；

（2）几何法，由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准方程。

由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法。

O

圆心C(a,b),半径r

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