双曲线的定义的应用

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磁县职教中心 辛某某

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双曲线的定义的应用

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双曲线的定义

平面内与两个定点F1、F2距离之差的绝对值是常数2a(|F1F2|>2a)的点的轨迹。

本定义中如果去掉“绝对值”三字，则符合条件的点的轨迹就是双曲线的一支。

本定义中如果这个常数2a等于两定点的距离2c，则符合条件的点的轨迹就是以这两定点F1、F2为端点的向外的两条射线。

本定义中如果常数2a大于两定点的距离2c，则符合条件的点的轨迹不存在。

第一定义

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双曲线的定义

平面内到一个定点与到一条定直线的距离的比是一个大于1的常数的点的点

本定义中的定点，不能在定义中的定直线上，否则符合条件的点的轨迹就不存在。

本定义中的两个距离的比是到点的距离作分子，到线的距离作分母。

本定义中的距离比是大于1，若小于1表示椭圆，若等于1，其轨迹是抛物线。

第二定义

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定义小结

双曲线的两种定义，第一定义体现了“质的区别”，第二定义体现了“形”的统一，两种定义不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性

双曲线的定义是双曲线这一节的基础，对这一定义有必要深刻第理解与把握，在此探讨双曲线定义的综合应用

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一、在求轨迹方程中的应用

例1：若动圆过定点A(-3，0)，且和定圆B：(x-3)2+y2=4外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

分析：由已知条件，动圆圆心到点A的距离是这个动圆的半径（一个变量），到已知定圆圆心的距离是两圆的半径和（一个变量与一个常量的和），由此可见，这两距离的差是一个常数，基本符合双曲线的定义，可从定义入手解决这个问题。

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解

设动圆半径为r，则动圆圆心P到点A的距离为|PA|=r到定圆圆心B的距离为|PB|=2+r(两圆外切)所以：

|PB|-|PA|=2

∵P到B点距离大于到A点距离

|AB|=6>2

∴点P的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线

的左某某(|PB|>|PA|)

∵2a=2，2c=6

∴b2=8，a2=1

根据双曲线的定义，写出动圆圆心的轨迹方程为：

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一、在求轨迹方程中的应用

例2：如图2，F1、F2为双曲线 的两焦点，P为其上一动点，从F1向∠F1PF2的平分线作垂线，垂足为M，求M点的轨迹方程。

解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则：

|PF1|=|PN|=|PF2|+|F2N|

即: |F2N|=|PF1|-|PF2|=2a

故点M的轨迹方程为x2＋y2＝a2

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二、利用定义判定某些位置关系

例3：设C是经过双曲线 的右焦点F2的直线，且和双曲线右支交于A、B两点，则以AB为直径的圆与双曲线的右准线有几个交点？

解：如图：分别过A、B及圆心作双曲线右准线l1的垂线，垂足分别为A’,B’,M’,则：

（其中e为双曲线的离心率，R为圆的半径）

故有两个交点

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三、利用定义求最值

例4：如图，F1、F2是双曲线 的左右交点，M(6,6)为双曲线内部的一点，P为双曲线右支上的点，求：

分析(1)：和式“|PM|+|PF2|”与双曲线第一定义区别，是否可设法转为“差”呢？

分析(2)：关键在于处理1/2|PF2|的系数，于是联想到e＝2，可用第二定义转化。

1.|PM|＋|PF2|的最小值

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略解

作MN⊥l于N点

∴|PM|+PH|≥MN

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四、利用定义解决实际应用问题

例5：如图：某村在P处有一个肥堆，今要把这堆肥沿道路PA或PB送到农田ABCD(为矩形)中去，若PA＝100米，PB＝150米，BC＝60米，∠APB＝60XXXXX，试在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近，而另一侧沿道路PB送肥较近，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出此曲线方程。

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分析：

这是一个圆锥曲线的应用问题，根据问题的条件直观的分析，在点A附近的点从PA方向运肥较近，在点B附近的点从PB方向运肥较近，所以说在平面上一定存在一条曲线，使曲线上任意一点从两个不同方向运肥路途相同。

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解

设矩形ABCD中有一曲线，在此曲线上的任意一点M，从两个不同方向运肥路途相同，即：

|MA|+|PA|=|MB|+|PB|

∵|PB|-|PA|=50

∴|MA-|MB|=|PB|-|PA|=50为一个定值

故点M的轨迹是以点A、B为焦点，实轴长为50的双曲线的右支在矩形ABCD中的部分：

∴b2＝3750

设AB所在直线为x轴，其中垂线为y轴，建立坐标系，故所求方程为：

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作业

1.动圆经过点A(4,0)，且与定圆(x＋4)2+y2=16内切，求动圆的圆心轨迹方程。

2022年1月6日星期四

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