2.4.2 抛物线的简单几何性质(2017.12.4.)
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2.4.2 抛物线的简单几何性质
y
复习
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索它的几何性质:
(1)范围
(2)对称性
(3)顶点
类比探索
x≥0,y∈R
关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.
抛物线和它的轴的交点.
(4)离心率
(5)焦半径
(6)通径
始终为常数1
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于某某，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
|PF|=x0+p/2
F
P
通径的长度：2P
思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。
练习1
结论
在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x 的系数有怎样的关系：
x的系数越大，抛物线的开口越大．
一般地，p越大，抛物线开口越大．
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
典型例题：
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论
斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解:由已知得抛物线的焦点为(1,0)
x
o
y
B
F
A
所以直线AB的方程为y=x -1
例 2
整理得 x2-6x+1=0
将x1 , x2代入y=x-1得AB坐标为
由两点间距离公式得:AB=8 .
②代入①得 (x-1)2=4x
解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，
交这抛物线于A，B两点，求证：以AB为直径的圆
和这抛物线的准线相切．
证明：如图．
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D，H，C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜
＝｜AF｜＋｜BF｜
＝｜AD｜＋｜BC｜
=2｜EH｜
练习:
1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是______________.
2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为
的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A，B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.
y2 = 8x
X=3
例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
x
O
y
F
A
B
D
例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。
x
y
O
F
A
B
D
小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;
关于x 轴
对称，无
对称中心
关于x 轴
对称，无
对称中心
关于y 轴
对称，无
对称中心
关于y 轴
对称，无
对称中心
e=1
e=1
e=1
e=1
分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；
另一种是直线与抛物线相切．
分析:
直线与抛物线有两个公共点时△>0
分析:
直线与抛物线没有公共点时△<0
注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论
作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形
变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少?
分析:本题与例1类型相似,方法一样,通过联立方程组求得.
(1)b=1 (2)b<1
(3)b>1,当直线与抛物线有公共点时,b的最大值当直线与抛物线相切时取得.其值为1
变式三:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y的最值.
本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.
本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.
x
y
x
y
x
y
判断直线与抛物线位置关系的操作程序
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
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