课例研究报告

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课例研究报告

课题:二元一次不等式（组）表示的平面区域

教学目标：使学生了解并会作二元一次不等式（组）表示的平面区域

教学重点，难点: 准确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域

教学过程:

教学环节

教 学 程 序

设 计 意 图



提出问题

引言:同学们,现在请你们思考一个问题：在平面直角坐标系中, 点的集合{（x，y）| x+y-1=0 }表示什么图形？

直线上点都是直线方程的解吗？一条直线把平面分为几部分？



提出问题让学生思考,创设问题情境,激发学生学习的欲望和要求,唤起学生对旧知识的回忆.

一条直线把平面分为几部分？提出这个问题为下面“同侧的点同号”作好铺垫。



揭示课题

直线外的点还满足该方程吗？

不满足该方程。那么是大于0还是小于0呢？

先看两个特例：

请你们作出直线：y-1=0

y-1>0 表示那个区域？y-1<0呢？

再作出直线：x-1=0

x-1>0表示那个区域？x-1<0呢？

那么二元一次不等式x+y-1>0 表示那个区域？

从前面所学的直线方程入手，利用一个个问题链引导学生，使学生学习从已知到未知,从特殊到一般，从易某某，循序渐进。



分 析与解决问题

现在直线x+y-1=0的右上方取两个点（2，0）（1，1）

在直线x+y-1=0的左下方取两个点（0，0），（-1，0）

分别代到方程x+y-1=0的左端x+y-1尝试。

你们发现了什么？

能否说明直线x+y-1=0右上方的点代到x+y-1中都上大于0呢？左下方的点代到x+y-1中都是小于0 的呢？

回答是肯定的，但为什么呢？

在学生无法直接回答该问题时让学生自己先尝试代点，最后让他们自己作出初步的归纳总结。目的在于让学生自己发现问题。





.证明过程：

在直线x+y-1=0的右上方任取一点 ，过点p作一条与x轴平行的直线，该直线与直线x+y-1=0相交于一点 由图知：

现在证明了我们刚才的结论：直线x+y-1=0右上方的点

代到x+y-1中都上大于0，

同理可以证明：左下方的点代到x+y-1中都是小于0

请问：不等式2x+y-6＜0表示哪个区域？

是不是还要去证明呢？这样做复不复杂？

能否找到一种更为简便的方法呢？

学生还无法给出理论的证明此时教师通过刚才的启发引导再给系统的证明过程。

给出完整的证明以后，此时教师给出了一个问题：不等式2x+y-6＜0表示哪个区域？对于这个问题有些学生还会按照刚才的思路去证明。让他们体会到这种方法的烦琐，为的是引出下面一种更为简单的方法：以点定域。



分 析与解决问题

刚才我们证明了直线x+y-1=0右上方点代到x+y-1中都上大于0，左下方的点代到x+y-1中都是小于0。那么能否通过直线一侧的特殊点确定二元一次不等式表示的区域呢？

我在直线一侧找一个特殊点代到直线方程的左端，如果结果大于0则说明该点所在的一侧是二元一次不等式大于0的区域，相反另一侧是二元一次不等式小于0的区域。

用这种方法便可以以点定域，并且简单多了。

请看下面两个例题。

分析讲解以点定域的方法



练习

例1：画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。

解: 作出对应的直线方程2x+y-6=0

将(0,0)代入2x+y-6

得0+0-6=-6<0

原点所在一侧为2x+y-6<0表示平面区域

2x+y-6<0

例2：画出不等式 表示的平面区域。

解:作出对应的直线方程

将(1,0)代入

得

点(1,0)所在一侧为 表示平面区域

例3：不等式组

解: 由例1，例2知：不等式组表示三个平面区域公共部分。

2x+y-6≤0

思考：

求

（请同学们下来思考，下节课我们接着讲。）

通过知识反馈,优化学生的认知结构,条理问题解决的思维模式.

这两个例题的设置有三个目的：

（1）使学生学会以点定域。

（2）当直线过原点时要通过坐标轴上的特殊点定域。

（3）当不等式中不含等号时边界应画成虚线；含等号时边界应画成实线。

借用前面两个例题自然导出不等式组表示的区域，以体现层层深入的教学思想，使学生容易理解和接受。



小结

教师引导学生小结

（1）一条直线Ax+By+C=0把平面分为三个区域：大于0，小于0，等于0。

（2）在确定区域时，在直线的某一侧取一 个特殊点
的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

一般在C≠0时，取原点作为特殊点。

C=0时，取坐标轴上的特殊点。

（3）注意所求区域是否包括边界直线

帮助学生形成知识体系,全面深刻地掌握以点定域的方法。



布置作业



画出二元一次不等式x-3y+1≤0表示的区域

（2） 画出二元一次不等式组

表示的区域

通过作业进一步巩固本课时所学的方法





课例研究综述

一．教材分析:

1．教材内容

《二元一次不等式表示的平面区域》为高高中数学必修5第三章第三节《二元一次不等式表示的平面区域与简单的线性规划》的第一个课时。二元一次不等***被安排在《简单的线性规划》第一节，也就是说这节内容的安排主要是为了使学生学会画二元一次不等式所表示的区域，为今后学习简单的线性规划打好基础。

2．教学目标

使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域

3．教学重点，难点

准确画出二元一次不等式表示的区域。

二. 教法分析

弗赖登塔尔曾指出:数学教学的核心是学生的“再创造”.教师不能将既有的知识灌输给学生,而应通过精心设置的一个个问题链,激发学生的求知欲,最终在教师的指导下发现问题、解决问题.为了充分调动学生的积极性,使学生变被动学习为主动学习,本课时拟用启发式问题教学法.

三. 学法分析

按照认知发现理论,学习者在一定情境中对学习材料的亲身经验和发现,才是学习者最有价值的东西.在教授知识的同时,必须设法教给学生好的学习方法,让他们“会学习”.通过本节课的教学,让学生学会从特殊问题入手，探索发现一般的问题，以培养学生发现问题、提出问题的创造性能力.

四. 教学设计过程

教学设计过程中，我先从直线上的点入手，进而拓展到直线外的点。并且通过两个特殊的例子帮助学生逐渐进入本节课的正题，在此过程中我设置了一些问题让学生自己去思考猜想，然后再给出完整的分析过程和结论。对于例题的设置我选了两个例题，包括：直线不过原点，直线过原点，区域包含边界，都是学生在作业中值得注意的问题，充分体现以点定域的思想。

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