高一数学

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3 平行线的判定

1．能根据“同位角相等，两直线平行”证明“同旁内角互补，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”，并能简单地应用这些结论.

2.初步了解证明的基本步骤和书写格式.

3.体会几何中推理的严谨性、书写的规范性，发展初步的演绎推理能力.

请找出图中的平行线！

它们为什么平行?

公理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行

你认为“两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”这个命题正确吗？说明理由.

已知：如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b

证明:∵ ∠1与∠2互补 (已知),

∴∠1+∠2=180XXXXX(互补的定义).

∴∠1= 180XXXXX-∠2(等式的性质).

又∵∠3+∠2=180XXXXX (平角的定义),

∴∠3= 180XXXXX-∠2(等式的性质).

∴∠1=∠3(等量代换).

∴ a∥b(同位角相等,两直线平行).

已给的公理,定义和定理以后都可以作为依据,用来证明新的命题.

说说你所悟到的证明一个命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项.

定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行

∵ ∠1+ ∠2=180XXXXX

∴ a∥b

证明一个命题的一般步骤：

(1)弄清题设和结论；

(2)根据题意画出相应的图形；

(3)根据题设和结论写出已知,求证；

(4)分析证明思路,写出证明过程.

据说,人类知识的75%是在操作中学到的.

小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？

通过这个操作活动,得到了什么结论?

议一议

定理 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.

这个定理可以简单说成:内错角相等,两直线平行.

你能运用所学知识来证实它是一个真命题吗?

已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.求证:a∥b.

证明:∵∠1=∠2 (已知),

∠1+∠3=180XXXXX(平角的定义).

∴∠2+∠3 = 180XXXXX(等量代换).

∴∠2与∠3互补(互补的意义).

∴ a∥b(同旁内角互补,两直线平行).

把你所悟到的证明一个命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项内化为一种方法.

借助“同位角相等,两直线平行”这一公理,你还能证明哪些熟悉的结论?

如图：直线AB、CD都和AE相交，且 ∠1+∠A=180XXXXX.

求证：AB//CD

【跟踪训练】

证明：∵∠1+∠3=180XXXXX（1平角=180XXXXX），

∠2+∠3=180XXXXX（ ），

∴∠1=∠2（等量代换）.

∵∠1+∠A=180XXXXX( ），

∴∠2+∠A=180XXXXX（等量代换）.

∴AB‖CD ( )

你还有其他证明方法吗？

已知

同旁内角互补，两直线平行

1平角=180XXXXX

公理:

同位角相等,两直线平行.

∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.

判定定理1:

内错角相等,两直线平行.

∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.

判定定理2:

同旁内角互补,两直线平行.

∵∠1+∠2=180XXXXX, ∴ a∥b.

平行线的判定方法

蜜蜂的本领

达尔文曾经说过：“蜜蜂巢房的精巧构造十分符合需要，如果一个人看到巢房而不倍加赞扬，那他一定是个糊涂虫.”这些小小的动物，它们用蜂蜡一昼夜可以造出几千间巢房,而且每间的体积几乎都是0.25 cm3，壁厚都精确地保持在0.073XXXXX0.002 mm范围内.如果你仔细进行观察就会发现，每个巢房从正面看去都是正六边形（每个角都是120XXXXX），而它的尖顶形成的底部则都是由三个完全相同的菱形拼接而成的.十八世纪初，法国学者马拉尔其经过测量发现，所有的底部菱形的钝角都等于109XXXXX28XXXXX，而其锐角都等于70XXXXX32XXXXX。法国物理学家列奥缪拉由这个有趣的发现得到一个启示：蜂房的这一特殊形状，可能是为了保证得到同样大的容积而所用材料最省.多么令人惊奇，小小的蜜蜂在人类有史以前就已经解决了的问题，十八世纪的数学家竟要用高等数学才能解决！

读一读

数学就在我们身边！

蜂房的底部由三个全等的四边形围成,每个四边形的形状如图所示,其中∠XXXXX=109XXXXX28XXXXX, ∠XXXXX=70XXXXX32XXXXX.

试确定这三个四边形的形状,并说明你的理由.

想一想

解：平行四边形.理由如下：

∵∠A+∠D=180XXXXX

∴ AB∥CD.

同理可证：AD∥BC.

∴ ABCD为平行四边形.

即所求三个四边形为平行四边形.

证明一个命题的一般步骤:

(1)弄清题设和结论;

(2)根据题意画出相应的图形;

(3)根据题设和结论写出已知,求证;

(4)分析证明思路,写出证明过程.

1.(潜江XXXXX中考）对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是( )

A.∠1=∠2

B.∠2=∠4

C.∠3=∠4

D.∠1+∠4=180XXXXX

【解析】选D.∠1的对顶角与∠4是同旁内角，若∠1+

∠4=180XXXXX，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到a∥b.

2.如图所示，∠1=75XXXXX，要使a∥b,则∠2等于( )

A.75XXXXX

B.95XXXXX

C.105XXXXX

D.115XXXXX

【解析】选C.∠1的同位角与∠2互为补角，所以∠2=

180XXXXX-75XXXXX=105XXXXX.

3.如图，直线AB，CD与EF相交于G，H，下列条件：

①∠1=∠2； ②∠3=∠6；

③∠2=∠8； ④∠5+∠8=180XXXXX，

其中能判定AB∥CD的是( )

A.①③ B.①②④

C.①③④ D.②③④

【解析】选B. ∠1和∠2是同位角，因此已知∠1=∠2，可得AB∥CD；∠3和∠6是内错角，因此已知∠3=∠6，可得AB∥CD；∠2和∠8是对顶角，因此由∠2=∠8不能得到AB∥CD；由∠5+∠8=180XXXXX，可以得到∠6+∠7=

180XXXXX，再根据同旁内角互补，两直线平行，可以得到AB∥CD.

4.（铜仁XXXXX中考）如图，请填写一个你认为恰当的条件______，使AB∥CD.

【解析】此题答案不唯一，填写的条件可以是∠CDA=

∠DAB或∠PCD=∠BAC或∠BAC+∠ACD=180XXXXX等.

答案：答案不唯一，如∠CDA=∠DAB

通过本课时的学习，需要我们掌握：

1.两条直线被第三条直线所截，会产生同位角、内错角、同旁内角.角的关系决定了两条直线是否平行,因此在做题时要掌握好“三线八角”；

2.同位角相等、内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行.

言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小。

——冰心[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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