3.2.1函数的单调性

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函数的单调性

德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据

1. 艾宾浩斯遗忘曲线

2. 某市一天24小时的气温变化图

y＝f(x)，x∈[0，24]

说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?

问题1 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:

问题2 你能明确地说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？

在某一区间内，

图象在该区间呈上升趋势

图象在该区间呈下降趋势

函数的这种性质称为函数的单调性．

问题3 如何用数学语言表述一个函数是增函数呢？

0

x

（1）对于某函数，若在区间(0，+∞)上，当x＝1时， y＝1；当 x＝2时，y＝3 ，能否说在该区间上 y 随 x 的增大而增大呢?

思考

（2）若x＝1，2，3，4，时，相应地 y＝1，3，4，6，能否说在区间(0，+∞)上，y 随x 的增大而增大呢？

（3）若有n个正数x1< x2<x3<XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX< xn，它们的函数值满足: y1< y2<y3<XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX< yn．能否就说在区间(0，+∞) 上y随着x的增大，而增大呢？

若x取无数个呢?

X不断增大，f(x)也不断增大

0

X

Y

X1

X2

f(X1)

f(X2)

问题4 如何用数学语言表述一个函数是增函数呢？

问题5

如何定义一个函数是单调减函数？

减函数定义

如果函数y=f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.

单调增区间和单调减区间统称为单调区间.

单调区间

y＝f(x)，x∈[0，24]

例1 根据图象说出函数的单调区间.

[0，4]

[4，14]

[14，24]

例2 画出下列函数图象，并写出单调区间：

两区间之间用和或用逗号隔开.

能否写成

x1

x2

（1）怎样证明？

练习：填表

函数

单调区间

k >0

k <0

k >0

k <0

增函数

减函数

减函数

增函数

单调性

函数

单调区间

单调性

增函数

增函数

练习2：填表（二）

减函数

减函数

2.函数单调性的定义；

4.证明函数单调性的步骤.

回顾小结

本节课主要学习了以下内容：

3.判断单调性的方法：图象、定义;

1.单调函数的图象特征；

布置作业

必做： P43 习题 2.1（3） 1、4、7

小结

1.函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质.

2.判断函数单调性的方法：

（1）利用图象：

在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的.

（2）利用定义：

用定义证明函数单调性的一般步骤：

任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论.

七、小结回顾

证明：

（设量）

（比较）

（结论）

（定号）

这节课主要学习了函数的单调性．通过本节课的学习，同学们要知道什么是增函数，什么是减函数，以及单调函数和单调区间的概念，如何从图象判断一个函数在它的定义域内的某区间上的增减性，如何从理论上去证明等等．

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