3.3.1函数的单调性与导数 一中做课终稿

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3.3.1函数的单调性与导数

一复习回顾

1.导数的几何意义

2.函数单调性的定义，判断单调性的方法

问题：如何判断函数 的单调性 ，

那么又如何判断

的单调性呢？

探究1 ：函数的单调性与导数正负之间的关系

下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.

运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?

a

a

b

b

t

t

v

h

O

O

(1)

(2)

二探究新知

x

y

O

x

y

O

x

y

O

x

y

O

y = x

y = x2

y = x3

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.

如果在某个区间内恒有fXXXXX(x)=0,则f(x)为常数函数

探究2 ：导数的正负与函数的单调性之间的关系

如图，导数 表示函数 在点

处的切线的斜率．

在 处，

切线是“ ”式

的，这时，函数 在

附近单调

在 处，

切线是“ ”式

的，这时，函数 在

附近单调

递增

递减

左下右上

左上右下

结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间

内可导,则函数在该区间

注意:如果在某个区间内恒有fXXXXX(x)=0,则f(x)为常数函数

如果fXXXXX(x)<0,

则f(x)为增函数;

则f(x)为减函数.

如果fXXXXX(x)>0,

例1 已知导函数 的下列信息:

当1 < x < 4 时,

当 x > 4 , 或 x < 1时,

当 x = 4 , 或 x = 1时,

试画出函数 的图象的大致形状.

解:

应用导数信息确定函数大致图象

应用导数信息确定函数大致图象

已知导函数的下列信息：

试画出函数 图象的大致形状。

题型：应用导数信息确定函数大致图象

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

解:

题型：求函数的单调性、单调区间

例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

解:

(3) 因为 , 所以

因此, 函数 在 上单调递减.

(4) 因为 , 所以

当 , 即 时, 函数 单调递增;

当 , 即 时, 函数 单调递减.

小结：根据导数确定函数的单调性步骤：

1.确定函数f(x)的定义域.

2.求出函数的导数.

3.解不等式fXXXXX(x)>0,得函数单增区间;

解不等式fXXXXX(x)<0,得函数单减区间.

1）用导数判断函数单调性步骤；

2）应用导数判断函数图象。

课堂小结

(A)

(B)

(C)

(D)

C

高

考

试

课堂检测：

尝

1.设 是函数 的导函数， 的图象如

右图所示,则 的图象最有可能的是( )

B

3.已知函数

在R上是减函数，求实数a的取值范围.

4.设 是函数f (x) 的导函数，

的图象如下,则f (x) 的图象的大致形状:

求函数 的单调区间。

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