函数的奇偶性

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函数的奇偶性

函数的奇偶性是继函数的单调性之后学习的函数的另一个重要性质．对幂函数，三角函数的性质等后续内容起重要作用．函数的奇偶性的实质就是函数图象的对称性，因而本节既可以继续培养学生数形结合的思想，同时又是数学美的集中体现

教材分析

在学习了函数的单调性之后，学生对于研究函数的性质的过程已经有了一定的了解．同时，学生在初中已经学习个图形的轴对称与中心对称，对图象对称性早已有一定的感性认识，这对函数奇偶性图象特征的理解有一定好处．但学生又缺乏对概念的抽象概括能力，在这方面需加以引导．

学情分析

重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断

难点：函数奇偶性概念的理解

能借助图象判断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程

教学重点和难点

函数奇偶性概念引入时,可以先从学生熟悉的一次函数,,二次函数.反比例函数图象出发,观察图象的奇偶性,从这点感性认识出发,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语的理解与必要性的认识就可以融入其中,将概念的形成与认识结合起来

函数奇偶性证明的步骤是严格规定的,要让学生按照步骤去做,就必须让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特别是在第三步变形时,让学生明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便帮助学生总结规律

教法建议

-x

x

当x1=1, x2=-1时，f(-1)=f(1).

当x1=2, x2=-2时,

f(-2)=f(2).

对任意x，f(-x)=f(x).

偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=f(x),那么f(x)就叫偶函数．

奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=-f(x)．那么f(x)就叫奇函数．

例1 判断下列函数的奇偶性.

（3）

解：(1) 因为f(-x)=2x=-f(x),所以f(x)是奇函数．

因为 f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x),所以f(x)是偶函数．

因为

是偶函数．

（1）

（2）

判断奇偶性，只需验证f(x)与f(-x)之间的关系．

（5）

（6）

（4）

定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件．

故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，所以它没有奇偶性．

解：（4）

（5）函数的定义域为[-2,2),故f(2)不存在，同上可知函数没有奇偶性．

（6）

，故函数没有奇偶性．

在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数，有的是偶函数不是奇函数，也有既不是奇函数也不是偶函数的．那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？

f(x)=0

是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢？

思考：

函数按是否有奇偶性可分为四类：

奇函数

偶函数

既是奇函数又是偶函数

既不是奇函数又不是偶函数

课堂练习： 判断下列函数的奇偶性。

（1）解：当b=0时，f(x)为奇函数，当b 0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）解：当a=0时，f(x)既是奇函数又是偶函数，当a 0时，f(x)是偶函数．

小 结：

奇偶性的概念

判断奇偶性时要注意的问题

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