函数奇偶性

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——奇偶性

函数的性质

（1）这两个函数定义域是什么？具有什么特点？

（2）两个函数的图像又有什么特点？

一、创设情景

1. 观察如下

两个函数的图像关于____对称，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值______．

即对任一x∈R都有f（－x）＝_______．

Y轴

相等

f(x)

两个函数的图像都关于_____对称，当自变量x取一对相反数时，

相应的两个函数值_________, 即对任一x∈R都有f（－x）＝

_______

原点

互为相反数

-f(x)

二、组织探究

奇、偶函数的定义

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x) ，那么函数f（x）就叫作偶函数．

1.偶函数概念:

2.奇函数概念

如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x) ，

那么函数f（x）就叫作奇函数

注：如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)

具有奇偶性。

探究一：函数奇偶性概念的理解

（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

（2）从定义可以看出，函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）

探究二：奇函数、偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之，亦成立。

探究三：函数奇偶性的判断与证明

判断函数奇偶性的方法

（1）根据定义

（2）根据函数图象的对称性

三、例题研究

例1. 判断下列说法的对错．

1）图像关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数

2）奇函数的图像一定经过原点

3）若定义域为R,且f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．

例2.判断下列函数的奇偶性．

利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

2 确定f(－x)与f(x)的关系

3 作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

（1）

定义域为R,关于原点对称

∴f(-x)≠f(x)

且f(-x)≠ f(x)

∴f(x)既不是奇函数也

不是偶函数

定义域为

关于原点不对称

∴f(x)既不是奇函数也

不是偶函数

-1"fx "f1且x ≠0

∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]

即f(-x)= - f(x)

∴ f(x) 为奇函数.

定义域为R 关于原点对称

∵ f(-x)=f(x)=0 又 f(-x)=-f(x)=0

∴f(x)既是奇函数又是偶函数

例5 f(x)= 0

3）

思考题

怎样判断下列函数的奇偶性：

（1）

（2）

布置作业

1、课本 P43-6

2、质量监测 P23-1、2、5、6

课堂小结

1.函数的奇偶性是对整个定义域内任意一个x而言的，是一个整体性概念。

2.奇（偶）函数的定义域应满足在x轴上的对应点必须关于原点对称，即-x和x同在定义域内。

3.函数奇偶性的判定方法。

4.体会由形及数、数形结合的数学思想，以及由特殊到一般的归纳推理的思维方法

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