函数的奇偶性
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***学 高中数学—柳某某
函数的奇偶性
世博会中国馆
世博会巴基斯坦馆
故宫博物院
观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？
1
-1
f(x)=x2
（1）
（2）
函数的奇偶性
例如：对于函数f(x)=x3
有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1
f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8
f(-x)=(-x)3=-x3
f(-1)= - f(1)
f(-2)= - f(2)
f(-x)= - f(x)
-x
x
结论:当自变量任取定义域中的两个相反数时,对应的函数值也互为相反数,即f(-x)=-f(x)
函数的奇偶性
-x
x
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
而函数f(x)=x2 ， 却是另一种情况，如下：
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-x)=(-x)2=x2
f(-1)=f(1)
f(-2)=f(2)
f(-x)=f(x)
结论:当自变量x任取定义域中的一对相反数时,对应的函数值相等，即f(-x)=f(x)
而函数f(x)=x2 ， 却是另一种情况，如下：
函数的奇偶性
偶函数定义：
如果对于函数ｆ(x)定义域内的任意一个x，
都有ｆ(-x)=ｆ(x)成立，则称函数ｆ(x)为偶函数.
图象关于Y轴对称
奇函数定义：
如果对于函数ｆ(x)定义域内的任意一个x，
都有ｆ(-x)=－ｆ(x)成立,则称函数ｆ(x)为奇函数.
图象关于原点对称
函数的奇偶性
一、奇偶函数的定义
（2）函数的奇偶性是函数的整体性质，函数的单调性
是函数的局部性质。
（3）对于奇、偶函数定义，反之也成立。
即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就
是说函数f(x) 具有奇偶性。
（4）定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。
函数的奇偶性
二、对于函数奇偶性定义的几点说明：
(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a
解: 定义域为R
∵f(-x)=(-x)3+(-x)
= -x3-x
= -(x3+x)
即 f(-x)= - f(x)
∴f(x)为奇函数
解: 定义域为R
∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a
=3x4+6x2 +a
即 f(-x)= f(x)
∴f(x)为偶函数
说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.
⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.
函数的奇偶性
三、判断函数奇偶性的基本方法：
函数的奇偶性
思考1：函数f(x)=2x+2是奇函数吗？是偶函数吗？
x
y
0
1
2
f(x)=2x+2
-1
分析：函数的定义域为R
但是f(-x)=2(-x)+2
= -2x+2
∴ f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠ f(x)
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）
如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。
函数的奇偶性
(1) f(x)= (2) f(x)=x2 x∈[- 4 , 4)
解: ∵定义域不关于原点 对 称
或 ∵ f(-4)=(-4)2 =16;
f(4)在定义域里没有意义.
∴f(x)为非奇非偶函数
解: 定义域为 [0 ,+∞)
∵ 定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数
思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？
函数的奇偶性
思考3：
在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？
有。例如：函数 f(x)=0
是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。
x
y
0
1
f(x)=0
-1
函数的奇偶性
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数
函数的奇偶性
四、根据函数的奇偶性，函数可划分为四类：
练一练：
判断函数的奇偶性:
函数的奇偶性
两个定义: 如果对于函数f(x)定义域内的任意
一个x
两个步骤:（判断函数的奇偶性）
都有f(-x)=-f(x) ，那么函数f(x)为奇函数。
都有f(-x)= f(x) ，那么函数f(x)为偶函数。
（1）先求出定义域，看定义域是否关于原点对称
（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立。
函数的奇偶性
五、本课小结：
作业：第39页
A组题：6
函数的奇偶性
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