3.2.2函数模型的应用实例 **_*学 李某某

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函数模型的应用实例

**_*学 李某某

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，

化工之巧，地球之变，生物之谜，

日用之繁，无处不用数学。 ——华罗庚

例3：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图，（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

解：阴影部分的面积为

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内

行驶的路程为360km.

问题思考：

例1：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图，

（2）写出汽车行驶路程关于时间的函数解析式，并画出图象；

（3）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.

50t+2004, 0?t<1,

80(t-1)+2054, 1?t<2,

90(t-2)+2134, 2?t<3,

75(t-3)+2224, 3?t<4,

65(t-4)+2299, 4?t?5.

解：

（3）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.

50t+2004, 0?t<1,

80(t-1)+2054, 1?t<2,

90(t-2)+2134, 2?t<3,

75(t-3)+2224, 3?t<4,

65(t-4)+2299, 4?t?5.

解：

思考：两个函数图象由什么关系？

例2：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。如图是1950-1959年我国的人口数据资料：

（1）根据上表中的数据作出散点图，并观察可用那种函数模型可以刻画人口数与年份的关系?

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（2）早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y0ert其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.

如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

问题1:1951年的人口增长率r1是多少？

问题2：这几年的人口年平均增长率是多少？

0.0200

于是,1951~1959年期间,我国人口的年平均增长率为

由上图可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人中数据基本吻合.

（3）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？(ln2.355≈0.857)

（2）将y=***代入

y=55196e0.0221t，

由计算机可得：

t≈38.76

这就是说按照这个增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年），我国的人口就已经达到13亿。

自然状态下的人口增长模型： y=y0ert

1、已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36 亿，当时人口的年增长率为2.1%（ln2=0.693）

（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？

（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72 亿。你对同样的模型得出的两个结果有什么看法？

巩固练习：

2．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.

现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)

A．y＝log2x　　　 B．y＝2x　　　

C．y＝x2　　 D．y＝2x

解析　逐个检验可得答案为B．

实 际 问 题

数 学 模 型

实际问题 的解

数学模型

的解

抽象概括

推理演算

还原说明

1.使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下：

2．函数模型的应用实例主要包括两个方面：

(1)利用给定的函数模型解决实际问题；

(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；

作业：P107

思考：两个函数图象由什么关系？

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