3.3.2函数的极值与导数

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3.3.2函数的极值与导数

求函数单调性的一般步骤

①求函数的定义域;

②求函数的导数 f/（x） ;

③解不等式 f/（x）>0；

④解集与定义域求交集，得到函数

的增区间；

回顾——利用导数研究函数的单调性:

判断函数y=2x3-6x2+7的单调区间,

并作出其大致图象.

解：定义域为R,

(0,2)为函数的减区间。

一、观察函数的大致图象

在x=2处，函数值f(2)与附近的函数值有何关系；

在x=2处，其导数的取值如何；

在x=2的两侧，其导数的正负取值如何.

二、极值的定义

你能自己写出极大值点、

极大值的定义吗？

极值的定义

极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。

结合图象，对函数进行分析：

1.函数有极值点吗？

2.哪些是极大值点，哪些是极小值点？

3.函数的极大值点或极小值点是唯一的吗？

4.函数的极大值一定比极小值大吗？

极值反应了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。

（1）如图是函数 的图象,试找出函数 的

极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？

（2）如果把函数图象改为导函数 的图象?

随堂练习

答：

1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函

数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。

2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)

的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。

下面分两种情况讨论:

（1）当 ，即x＞2,或x＜-2时;

（2）当 ，即-2 ＜ x＜时。

例1：求函数 的极值.

解:函数的定义域为R,

当x变化时， 的变化情况如下表：

∴当x=-2时, f(x)的极大值为

令

解得x=2,或x=-2.

当x=2时, f(x)的极小值为

三、求解极值的方法（几何法、定义法）

求函数极值的方法：

确定函数的定义域；

求出导函数 ；

解方程 ，只取落在定义域内的根；

列表分析 在每一个根两侧的正负情况；

根据极值点、极值的定义下结论.

故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.

拓展练习

例2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为

10,求a、b的值.

又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②

从而所求的解为a=4,b=-11.

小结：

1.极值点、极值的定义

①极值点不是唯一的

②导数为0的点不一定是极值点，

③极大值不一定比极小值大

2.极值点的判断方法

①图象法（2种不同的观察角度）

②代数法（5个基本步骤）

3.利用定义解决相关的参数问题

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