平方差公式2（教学设计）
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《平方差公式》教学设计 一、教学内容：
人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》八年级上册“1421平方差公式”。
二、教材分析：
平方差公式是整式的乘除运算的延续，是后续数学学习的重要基础，同时也是从一般到特殊的认识过程的范例.对它的学习和研究丰富了教学内容，也拓展了学生的视野.
三、学情分析：
平方差公式着重于研究平方差公式的发生过程.其发生过程便于学生掌握这一公式的结构特征，更能理解公式中字母的广泛含义.在教学过程中，特别是探讨知识发生的过程，并和学生一起研究知识如何从一般到特殊概括得到公式，这将有助于训练学生的思维，使学生领会到数学的思想和方法.在教学过程中，平方差公式的几何意义的形成，学生通过对面积的思考，可以发现平方差公式与面积之间的内在联系，拓展了学生的数形思维空间，促进了学生数学思考，进而感受到几何与代数内在统一，同时强有力地培养了学生的创新精神. 四、重难点分析：
本节课的教学重点是通过平方差公式的发生过程，理解平方差公式的结构特征，进而有意识的用平方差公式解决问题. 教学难点是平方差公式的结构特征及其有效地变式应用 五、教学目标分析：
经历探究平方差公式的过程来推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能有意识地用平方差公式进行简单的运算。在探究平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理、概括能力；通过平方差公式的几何背景的了解，体会代数与几何的内在统一.通过平方差公式的应用，体会体会到数学符号表示运算律的简洁。以及数学精神的严谨和思维的深
六、教学过程设计
1.公式的引入
活动一 、竞赛激智,扫除障碍，迎接挑战
学生考老师：当月过生日的同学，计算（100+a）(100-a)让老师猜生日日期
设计意图： 由数字游戏猜数字时，老师的神奇算法引发学生对求知的欲望，也通过游戏的方式让学生的思维活跃起来，注意力集中起来，进而引出式子的计算与学习。设计这个小环节，既可以提高学习的兴趣，也能促进学生对知识的理解和逐步深入。
追问：想知道老师是怎么猜出你生日的吗？等我们学习了今天的知识你一定会有收获的。
活动二、回顾与思考：
多项式乘法法则：(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab
合并同类项：如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
设计意图：扫除障碍，促进知识连接。给学困生指明方向，促进每一个学生在课堂上都能有所收获，并且让学生感受到计算的结果四项式到三项式再到二项式的逐步简化过程。
公式的推导：
活动一、计算下列各式。
(1) (x+3)(x?3)=x2?32
(2) (1+2a)(1?2a)=12?(2a)2 ;
(3) (x+4y)(x?4y)=x2?(4y)2 ；
(4) (y+5z)(y?5z) =y2?(5z)2 .
追问1：你们的计算结果有什么规律吗？
追问2：你发现多项式的积的表达形式有什么规律吗？
设计意图：以学生熟悉的多项式的积为载体，以全部参与讨论、归纳总结为教学形式，通过具体多项式乘法的运算，让学生经历：观察每个算式和结果的特点---比较不同算式之间的异同----归纳可能具有的规律----提出自己的猜想这一探究过程，为后面抽象出平方差公式积累原始资料，做好研究准备；在学生发现规律后，关注学生对规律的第一次语言文字叙述，以掌握好学生对新知识的思考路线。
学生总结：
（1）计算的结果都是两项的平方差，与以往两项乘以两项的结果大多是三项或四项不同；（2）这些两项乘以两项中，有一项是完全相同，另一项又是互为相反的；
（3）结果是两项的平方差，并且是完全相同项的平方减区互为相反项的平方.
师生互动：（a＋b）（a－b）a2－b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
教师：（1）这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
（2）公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式；
（3）只要是符合公式的结构特征，都可以用公式进行计算.
活动二、代数验证
板书：（a+b）(a-b)=a2+ab-ab－b2=a2－b2
用多项式乘法法则计算：（a＋b）（a－b）
设计意图，这是对前面运算的继续研究与讨论，从特殊到一般，归纳总结出平方差公式。再利用多项式乘以多项式的法则做完计算后，重点在于引导学生观察公式的左右两边结构特征并尝试让学生说一说这些特点的原因。让学生通过推导公式这一探究活动体验到：原来两个二项式相乘之后的积有四项，而现在这两个特殊的二项式相乘，他们的积经过整理以后只有两项，如果省去中间的计算过程，运算将变得非常简洁，也将大大降低了计算的量。
活动三、几何验证
（1）设大正方形的边长为a（图1），大家都知道它的面积为a2；
（2）按图2剪去一个边长为b的小正方形，大家都知道剩下部分的面积为（a2－b2）；
（3）将剩下的图形剪成（沿某某2的虚线）两个长方形，并将一边长为b的小长方形拼到一边长为a的长方形后得图3；同学们都知道图3的一边长为（a＋b），另一边长为（a－b），面积为（a＋b）（a－b）；
（4）同学们比较图2和图3不难发现它们面积的关系.
设计意图：平方差公式的代数形式学生能够顺利地通过乘法公式推导出来，但是它的几何意义是学生较难掌握的。在教学中，通过教师的flash展示.学生直观体验了平方差公式的几何意义，感受代数不只是计算，还有美妙的几何意义，亲身经历了数学魅力所在，这也是向学生渗透数开结合的数学思想的一个有效载体。
活动四 结构特征
两个数的和乘以这两个数的差即两个二项式中有两项相等，另两项是互为相反数。
右边这两数的平方差。即相等数的平方减去互为相反数的数的平方。
判断下列式子是否可用平方差公式
（1）（-a+b）(a+b) （2） (-a+b)(a-b)
（3） (a+b) ( a-c ) (4) (2+a)(a-2)
设计意图：通过观察比较，强化平方差公式的结构特征，但同时也要指出公式中的a，b既可代表具体的数，还可代表单项式或 多项式。这为拓展运用平方差公式解决较复杂多项式问题创造了条件。
公式的运用
例1、运用平方差公式计算：
(3x+2)(3x-2) (2)(-x+2y)(-x-2y)
例题变一变环节 1. 变式一 ( －3X＋2)(－3X－2)
变式二 ( －3X－2)(3X－2)
变式三 (－3X＋2)(3X＋2)
2.仔细填一填
(1) (x+3)( )=x2-9 (2) (-1-2x)( 2x-1)=
(3) (m+n)( )=n2-m2 (4)( )(-1-y)=1-y2
(5) (-3a2+2b2)( )=9a4-4b4
设计意图：通过同类型题的练习，帮助学生更好地理解平方差公式，较熟练地运用平方差公式进行有关计算。其中，（2）需将-x看作a，2y计某某b，设计到符号的问题和平方的问题。在解题细节上起到很好的强化作用。通过一则平方差公式简单的例题分析及应用，巩固理解了公式结构特征，让学生进一步感受到这种一般到特殊的数学思想方法的魅力
例２ 计算
(1)102XXXXX98；
(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5).
拓展提升 1.计算 20042 － 2003XXXXX2005;
2、利用平方差公式计算:（a-2)(a+2)(a2 + 4)
设计意图：这是平方差公式的拓展例题分析及应用，使学生进一步体会平方差公式的结构特征，能进一步灵活运用乘法公式、法则进行计算。同时与课前引入猜数游戏前呼后应.
活动5 归纳小结、优化概念
通过学生小结，让他们明确平方差公式及其结构特征，体会数学中蕴涵的由一般到特殊的思想，体验数学中代数与几何的内在统一.
目标检测设计
1.下列计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）（x+6）(x-6)=x2-6 (2)(2a2+b2)(2a2-b2)=2a4-b4
(3)(-5a-2b)(5a-2b)=25a2-4b2
2..看谁算的又快又准
(1) (a+2b)(a-2b)= (2) (3x+5y)(3x-5y)= (3)(10s-3t)(10s+3t)= (4) (-m+n)(-m-n)=
3. 利用平方差公式计算:(a-2)(a+2)(a2 + 4).
4.两个两位数的十位上的数字相同，其中一个两位数的个位上的数字是6，另一个两位数的个位上的数字是4，它们的平方差是220，求这个两个两位数：
设计意图：第1题是判断题，学生通过纠错进一步理解了平方差公式的结构特征，有利于后面的作业；第2题前4个小题直接用公式计算，便于所有的学生通过作业获得学习的成功乐趣，后2个小题有一定的难度便于中等程度的学生跳一跳去摘取胜利的果实，少数学有余力的学生提高能力.作业由易到难的设计便于所有的学生从学习中获得需要及不同的发展.
布置作业：1.教科书第112页第1题.
2、扩展训练：利用平方差公式计算(a+b+c)(a-b-c)
七、教学设计说明
通过学生已有的认知、经验入手，让学生感到学数学的价值是用已知来解决未知的世界，感到学习的亲切.学生学习过程中，通过动手操作、欣赏动画，体验数学中代数与几何的内在统一.在学习过程中，例题的设置是由浅入深，让每个学生感到学有所成，感受到学习数学的乐趣.整个过程贯穿平方差公式的结构特征及由一般到特殊的思想的体验，亲身经历了数学魅力所在.
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