1.3.2

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1.3.2　球的体积和表面积

1.了解球的体积和表面积的计算公式.

2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.

1

2

1

2

2.球的表面积

如果球的半径为R,那么它的表面积S=4XXXXXR2.

与球有关的组合体问题的解题策略

剖析:可通过画过球心的截面来分析.例如,底面半径为r,高某某h的圆锥内部有一球O,且球与圆锥的底面和侧面均相切.

如图,过球心O和圆锥的顶点A作圆锥的截面,则球心是等腰三角形ABC的内接圆的圆心,AB和AC均是圆锥的母线,BC是圆锥的底面直径,D是圆锥底面的圆心.

用同样的方法可得出以下结论:

(1)若长方体的8个顶点在同一个球面上,则长方体的体对角线是球的直径;

若球与正方体的六个面均相切,则球的直径等于正方体的棱长;

若球与正方体的12条棱均相切,则球的直径是正方体的面对角线.

(2)若球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.

(3)若球与圆台的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆台的高.

题型一

题型二

题型三

题型一

题型二

题型三

反思确定一个球的条件是球心的位置和球的半径,已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积;反过来,已知球的体积或表面积也可以求其半径.

题型一

题型二

题型三

题型一

题型二

题型三

【例2】 若棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为　　　　　.?

解析:过正方体的相对侧棱作球和正方体的截面,如图所示,

则球心O是BD的中点,四边形ABCD是矩形,

AD是正方体的棱长,AB是正方体的一个面的对角线,

题型一

题型二

题型三

【变式训练2】 若一个球与棱长为2的正方体的各个面相切,则该球的体积为　　　　　.?

解析:过在同一平面上的四个切点作截面,如图所示.

题型一

题型二

题型三

【例3】 某几何体的三视图如图所示,则其表面积为　　　　　.?

题型一

题型二

题型三

反思1.由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆.

2.计算球或与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接,避免重叠和交叉.

题型一

题型二

题型三

【变式训练3】 如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为　　　　　.?

题型一

题型二

题型三

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