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第二章
圆锥曲线与方程
2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第2课时 直线与抛物线的位置关系
张维
学习目标
1.明确直线与抛物线的位置关系，会判断直线与抛物线的位置关系的(重点)．
2.会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及弦中点等问题(难点)．
⑴只有一个公共点
⑵有两个公共点
⑶没有公共点
练习2：在抛物线y＝4x2上求一点，使该点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是________.
判断直线与圆锥曲线位置关系的操作程序：
把直线方程代入曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
总 结
与抛物线有关的中点弦问题
1.已知抛物线y2=2x,点(4,0)恰是直线被抛物线所截得的弦的中点,则直线方程是 .
2.过点M(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,若弦AB恰被点M所平分,求弦AB所在直线的方程.
【解题探究】1.若直线与抛物线相交,且所得的弦的中点在对称轴上,则此直线应具备什么特点?
2.如何判断以某点为中点的弦一定存在?
探究提示:
1.此直线垂直于抛物线的对称轴.
2.当点在抛物线的内部时,以该点为中点的弦一定存在,否则就不存在.
【解析】1.由于(4,0)恰在抛物线的对称轴上,能符合题意的直线与对称轴垂直,故直线方程是x=4.
答案:x=4
2.方法一:设以M为中点的弦AB的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=2XXXXX4=8,y1+y2=2XXXXX1=2,由题知直线AB的斜率k存在且不为0,
k=
把A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入抛物线的方程得y12=8x1①, y22=8x2②.
②-①得y22-y12=8(x2-x1),
∴8= =2k,∴k=4,
∴所求弦AB所在的直线方程为y-1=4(x-4),
即4x-y-15=0.
方法二:由题知直线AB的斜率存在,且不为0,设为k,弦AB所在的直线方程为y=k(x-4)+1,由
消去x得ky2-8y+8-32k=0,∴y1+y2= .
又知AB的中点就是M,∴y1+y2=2= ,∴k=4,
∴弦AB所在的直线方程为y=4(x-4)+1,
即4x-y-15=0.
【拓展提升】“中点弦”问题解题策略两法
例5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
x
O
y
F
A
B
D
当直线AB存在斜率时,设AB为
与y2=2px联立,得
yAyB=-p2
当直线AB存在斜率时,结论显然成立.
所以，直线DB平
行于抛物线的对称轴.
判断直线与圆锥曲线位置关系的操作程序：
把直线方程代入曲线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
总 结
【拓展提升】“中点弦”问题解题策略两法
作业：课时练52页 典例2 训练2
54页 随堂检测 [全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]
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