不等关系与不等式

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第三章　不等式

XXXXX3.1　不等关系与不等式

1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.

2.初步学会作差法比较两实数的大小.

3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．

学习目标

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知识梳理 自主学习

知识点一　不等关系与不等式

1.不等关系

在现实生活中，不等关系主要有以下几种类型：

(1)用不等式表示常量与常量之间的不等关系，如“神舟”十号飞船的质量大于“嫦娥”探月器的质量；

(2)用不等式表示变量与常量之间的不等关系，如儿童的身高小于或等于1.4 m；

(3)用不等式表示函数与函数之间的不等关系，如当x＞a时，销售收入f(x)大于成本g(x)；

(4)用不等式表示一组变量之间的不等关系，如购置课桌的费用60x与购置椅子的费用30y的和不超过2 000元.

2.不等式

(1)不等式的定义

用数学符号“＝”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.

(2)关于a≥b和a≤b的含义

①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确.

②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确.

知识点二　比较大小的依据

(1)比较实数a，b大小的文字叙述

①如果a－b是正数，那么a b；

②如果a－b等于0，那么a b；

③如果a－b是负数，那么a b，反之也成立.

(2)比较实数a，b大小的符号表示

①a－b＞0?a b；

②a－b＝0?a b；

③a－b<0?a b.

答案

＞

＝

<

＞

＝

<

思考　(1)x＞1时，x2－x____0(填“＞”或“＜”).

解析答案

＞

解析　x2－x＝x(x－1),

x＞1时，x－1＞0，x＞0，

∴x(x－1)＞0，∴x2－x＞0.

＜

知识点三　常用的不等式的基本性质

(1)a>b?b a(对称性)；

(2)a>b，b>c?a c(传递性)；

(3)a>b?a＋c b＋c(可加性)；

(4)a>b，c>0?ac bc；

a>b，c<0?ac bc；

(5)a>b，c>d?a＋c b＋d；

(6)a>b>0，c>d>0?ac bd；

(7)a>b>0?an bn (n∈N，n≥1)；

返回

<

答案

>

>

>

<

>

>

>

>

数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.不等式是不等关系的符号表示.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系. 思维要严密、规范.如“超过”不能取等号，“不超过”可以取等号.

跟踪训练1　如下图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地.仓库的长L大于宽W的4倍.写出L与W的关系.

解析答案

题型二　比较实数(式)的大小

例2　(1)比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R；

解析答案

解　∵x6＋1－(x4＋x2)

＝x6－x4－x2＋1

＝x4(x2－1)－(x2－1)

＝(x2－1)(x4－1)

＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.

∴当x＝XXXXX1时，x6＋1＝x4＋x2；

当x≠XXXXX1时，x6＋1＞x4＋x2.

综上所述，x6＋1≥x4＋x2，当且仅当x＝XXXXX1时取等号.

(2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小.

解析答案

反思与感悟

解　∵(5x2＋y2＋z2)－(2xy＋4x＋2z－2)

＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1

＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，

∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，

当且仅当x＝y＝ 1 2 且z＝1时取等号.

比较大小的方法

(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负.

作差法的一般步骤：

作差——变形——判号——定论.

反思与感悟

(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小.

作商法的一般步骤：

作商——变形——与1比较大小——定论.

(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判断.

解析答案

跟踪训练2　设a＞0，b＞0，且a≠b，比较aabb与abba的大小.

又∵aabb＞0，abba＞0，∴aabb＞abba.

题型三　不等式性质的应用

例3　已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证： e a－c ＞ e b－d .

解析答案

反思与感悟

证明　∵c＜d＜0，

∴－c＞－d＞0，

又∵a＞b＞0，

∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0，

即a－c＞b－d＞0，

∴0＜ 1 a－c ＜ 1 b－d ，

又∵e＜0，

∴ e a－c ＞ e b－d .

反思与感悟

利用不等式的性质证明不等式的注意事项

(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.

(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.

解析答案

跟踪训练3　已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp.

证明　∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp.

∴－ap＜－bp，

又m＞n，即n＜m.

∴n－ap＜m－bp.

解析答案

忽视性质成立的条件导致错误

易错点

例4　已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围.

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误区警示

错解　1≤a－b≤2， ①

2≤a＋b≤4， ②

由①＋②，得3≤2a≤6，

∴ 3 2 ≤a≤3， ③

由②＋①XXXXX(－1)，得0≤2b≤3，

∴0≤b≤ 3 2 ， ④

由③XXXXX4＋④XXXXX(－2)，

得3≤4a－2b≤12.

解析答案

错因分析　由上述解题过程可知，当a＝ 3 2 且b＝ 3 2 时，3≤4a－2b才取等号，而此时a－b＝0，不满足①式，因此4a－2b是不能等于3的.同理可验证4a－2b也不能等于12.出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形，因此结论是错误的.

正解　令a＋b＝u，a－b＝v，

则2≤u≤4,1≤v≤2.

解析答案

∵2≤u≤4,3≤3v≤6，

∴5≤u＋3v≤10.

∴5≤4a－2b≤10.

误区警示

返回

把条件中的a－b和a＋b分别看做一个整体，采用整体代入法，并结合不等式的性质求解，可以得到正确的结论.

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1.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　)

A.5x＋4y＜200 B.5x＋4y≥200

C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200

当堂检测

1

2

3

4

解析　据题意知，500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200，故选D.

D

解析答案

1

2

3

4

2.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　)

A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2

C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax

解析　∵x<a<0，∴x2>a2.

∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.

又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.

∴x2>xa>a2.

B

解析答案

1

2

3

4

3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)

A.M＞N B.M＝N

C.M＜N D.与x有关

A

解析　M－N＝x2＋x＋1＝(x＋ 1 2 )2＋ 3 4 ＞0.

∴M＞N.

解析答案

1

2

3

4

解析答案

4.若x∈R，则 x 1＋x2 与 1 2 的大小关系为________.

课堂小结

1.比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.

a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b.

2.作差法比较的一般步骤

第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；

返回

第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)

最后得结论.

概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.

3.不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然.

本课结束

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