2.1平面向量的实际背景及基本概念

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第二章 平面向量

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

1．了解平面向量的实际背景；

2．掌握向量的几何表示；

3．理解向量的有关概念；

4．逐步培养学生观察、分析、综合和类比的能力和“知识重组”意识和“数形结合”能力.

同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具.其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的.成为理论后又反过来对其它学科起作用.比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系.

请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方向的量？

向量的物理背景与概念

在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图2.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图2.1-3），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图2.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大.

我们可以对位移、力XXXXXXXXXX这些既有大小又有方向的量进行抽象，形成一种新的量.这种量就是我们本章所要研究的——向量.

向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（物理学中常称为矢量）.

而把那些只有大小，没有方向的量如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等，称为数量,物理学中常称为标量.

注意：数量与向量的区别，数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

向量的几何表示

由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量.

对于向量，我们常用带箭头的线段——有向线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.

有向线段：带有方向的线段叫有向线段.（如图）我们在

有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B

为终点的有向线段记作 ,起点写在终点的前面.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.（知道了有向线段的起点、方向和长度，

它的终点就可以唯一确定.）

③用字母 ， ， 等表示.

问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说

法对吗？

不对，①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

的长度（或称模）：记作 .

②长度等于1个单位的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

指出图中各向量的长度（模）

A

B

C

D

E

F

G

1

H

N

M

例1 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）.

1:***

相等向量与共线向量(平行向量）

平行向量定义：

O

A

B

C

共线向量定义：

平行向量也叫做共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

问题2：两个向量是否可以比较大小？

向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向量 、 ， 或 ”这种说法是错误的.

O

A

B

C

D

E

F

1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量 与 是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向量)不相等；

④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

(XXXXX)

(XXXXX)

(XXXXX)

(XXXXX)

2.下面几个命题：

（3）若|a|=|b|，则a = b

（2）若|a|=0，则a = 0

（1）若a = b，b = c，则a = c.

A．0　　B. 1 C. 2 D. 3

其中正确的个数是( )

（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD是平形四边形的充要条件.

C

3.如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：

（1）与CM模相等且共线的向量； （2）与ED相等的向量；

4. 在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？

无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着名种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一种宝贵品质。 ——加里宁　[全文已结束，注意以上仅为全文的文字预览，不包含图片和表格以及排版]

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