教学设计

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“求线面所成角的向量方法”的教学设计

**_*学 杨某某

教材分析

教学内容

用向量方法求空间直线与平面所成角。

教材中以用向量方法证明空间直线、平面的平行和垂直问题作铺垫，从具体例子出发，总结出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点，直线，平面，把立体几何问题转化为向量问题；

通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；

把向量运算结果“翻译”成相应的几何意义。

但是，在教材中，并没有具体总结怎样用向量方法求空间直线与平面所成的角，这给同学们留下了一个深入探究的空间。

地位作用

用向量方法求直线与平面所成角是用向量方法解立体几何问题的一个重要组成部分，是用向量方法解决线面的平行与垂直问题，异面直线所成角的问题的递进，同时也为用向量方法求二面角得大小做了铺垫。

用向量方法求直线和平面所成的角，把传统方法中的以“找角”的证明过程为主，转为以求向量及其夹角的计算过程为主，把抽象思维的过程转化为具体运算的过程，这在降低解题难度的同时，也培养了学生灵活运用知识解题的能力，体验和感悟了转化的思想，数形结合的思想。

学情分析

之前学生已经学习了怎样用向量方法证明线面平行、垂直问题，怎样用向量方法求两条异面直线所成的角，这些已经为学生构建了立体几何中的向量方法的基本思想和过程，为本节课内容的学习，不管是从思维的切入、方法的构建，还是过程的形成都打下了很好的基础。教学中，教师充分利用图形，引导启发学生怎样把所求角与两个已知向量的夹角建立起确定关系，解决问题的方法就基本能够形成了。

三、教学目的：

掌握求直线和平面所成角的向量方法。

进一步领会用向量方法解立体几何问题的思路和关键。

体会向量的代数与几何特征，感受用计算代替推理证明的优越性。

四、教学重点：

利用线面所成角的向量方法求线面所成角。

五、教学难点：

线面所成角与两个特定向量夹角的关系。

六、教具：实物投影仪等多媒体，导学案。

七、教学过程：

复习引入。

复习提问：线面所成角的概念。

两个向量的夹角公式。

提出问题：怎样用向量方法求线面所成的角。

如图，直线PA与平面
所成的角
与向量
和
的夹角有什么关系？（解释PO,PA的意义）

向量
与平面
的关系是什么？

设向量
是
的某一个法向量，那么直线PA与
的所成的角与
和
的夹角的关系是什么？

（问题提出后，请同学们分组讨论）

（教师适时在黑板上画出下列二图）

请小组代表回答问题，大家研讨得出正确结论。

教师总结正确结论。

设向量
是平面
的一个法向量，
是
的斜线PA的方向向量，那么直线PA和平面
所成的角与
和
的夹角的关系是。

方法形成：用向量求线面所成角
的方法步骤：

（1）求直线PA的一个方向向量
；

（2）求平面
的一个法向量
；

（3）求
的值；

(4)取
，即得所求

例：如图，在正方体ABCD-A1B1 C1D1中，M,N,E,F分别是AD,CC1，A1B1和C1D1的中点，试求直线MN和平面BCFE所成角的正弦值。

（分组探求，注意引导，展示学生解答情况）

八、练习巩固：

（1）在例题的图形中，求直线MN与平面BD D1 B1所成角的正弦值。

（2）如图，在直三棱柱ABC-A1B1 C1中，
AB=BC=1，A A1=2求直线A1C和平面ABC1所成角的余弦值。

九、总结反思：

用向量求线面所成角的方法步骤；

关键是求出已知平面的一个法向量；

需要做好的是保证每一步运算的正确性；

应体会哪些数学数学方法。

十、作业：

在边长为1的正方体ABCD-A1B1 C1D1中，E是BC的中点，F是AB的中点，求直线D1E与平面C1CF所成角的正弦值。

在直三棱柱ABC-A1B1 C1中，
AB=AC=2，A A1=4，D是BC中点，E是AB中点，求直线B1E与平面ADC1所成角的正弦值。

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