3.4 基本不等式（教案）

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3.4 基本不等式（第1课时）

**_*学校 严某某

一、教学目标

(一) 知识与技能目标：

1. 理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；

2. 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；

3. 掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。

(二) 过程与能力目标

1. 从数和形两方面深入地探究不等式的证明；

2. 两个定理的证明要注重严密性。

(三) 情感与价值目标

1. 培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力；

2. 两个定理的证明要注重严密性。

二、教学重点、难点：

教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
的证明过程。

教学难点：基本不等式
等号成立条件。

教学过程：

情景引入：

1. 基本不等式
的几何背景：

探究：如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，

颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

2 合作探究

（1）提问1：大家想一想，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

（从面积的关系去找相等关系或不等关系）

提问2: 我们把“风车”造型抽象成上图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为
、
，那么正方形的边长为___________？面积为__________？

提问3：那4个直角三角形的面积和为___________？

提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式____________________。什么时候这两部分面积相等呢？

当直角三角形变成____________三角形，即
时，正方形EFGH浓缩

为一个点，这时有__________________.

(二) 新课讲授

1. 重要不等式：一般地，对于任意实数
、
，我们有
，当且仅当

时，等号成立。

思考：你能给出它的证明吗？（比较大小的常用方法——____________）

2. 特别地，如果
，也可写成

___________________________.

下面利用不等式的性质进行推导：

基本不等式：

课本98页探究：

如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗？

几何意义：______________________________.

填表比较

5. 应用基本不等式求最值的条件：“七字方针”

总结：

若
均为正数，则当
的值是常数
时，当且仅当_____时，
取得最小值______.

若
均为正数，则当
的值是常数
时，当且仅当_____时，
取得最大值______.

(三) 例题讲解

例1. 已知
，求
的最小值。

变式1.

变式2.

四、课堂小结：

求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”

五、课后作业：

1. 课本
习题3.4 A组1(1)(2)

2.

3.
并说明此时
的值.

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