不等式的证明

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不等式的证明 教学设计

学习目标：结合已
经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

学习重点：会用分析法证明
问题
；了解分析法的思考
过程.

学习难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法
.[来源:Z&xx&k.Com]

学习过程：

一、复习
准备：

1. 提问：基本不等式的形式
？

2. 讨论：如何
证明基本不等式
.

二、讨论探究[来源:学_科_网Z_X_X_K]

1. 例题：

①
出示例1：求证
.

讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

②
提出分析法：

要点： [来源:***ZXXK]

框图表示：

三、
巩固练习：

1. 课本42页练习第2题

2. 课本42页
练习第3题[来源:学#科#网][来源:学*科*网]

小结
：分析法由要
证明的结论Q
思考，一步步探求得到Q所需要的已知
，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与
综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管
齐某某，两面夹击，逐步缩小
条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框
图示意）

教学反思

不等式的证明题型多变，方法多解，技巧性强，没有固定的程序和统一的方法、证明不等式的一般方法有做差比较法、做商比较法、综合法、分析法，其他方法有反证法、放缩法、换元法和判别式法。而对这些方法的使用，要根据不等式的结构特征，去分析条件与结论之间的内在联系，不断总结规律，选择合理有
效的证明方法，下面就几种方法作简要透析。????? 一、 比较法?????? 比较法是证明不等式最常用的方法之一，其中有作差比较和作商比较法????? 1. 作差比较法的基本步骤是：作差→变形→判断符号。其中“变形”是关键。通常需要配方或因式分解，将差变形为几个因式的积或配成几个平方和的形式，有些形式也可用判别式法来判别符号。??? ?? 2. 作商比较法的基本步骤是：作商→变形→判断商与1的大小关系。其中作商首先确定a、b的符号。通过比较a/b与1的大
小关系来判断a与b的大小关系。????? 一般地证明幂指数不等式时常用作商比较法。证明对数不等式时常用作差比较法，当“商”或??? “差”式中含有参数时。通常都要对参数的取值进行分析。应引起注意的是比较法证明不等式问题经常借助于函数的单调性。?????? 二、分析法?????? 分析法是执果索因从结论出发，一步步寻求上一步成立的充分条件直至找到已知的不等式或
易证的不等式为止的一种方法，当所证的不
等式比较复杂
而又无从下手时，常采用分析法。用分析法的过程中要注意：????? ⑴分析法证明的每一步知识要寻求上一步成立的充分条件，
而不是充要条件。所以没有必要“步步可逆”
否则，就限制于它解决问题的范围。??
??? ⑵认真审题。在转化结论时要注意联系条件的特征。????? ⑶用分析法证明问题时，一定要适当地用好“要证”、“只须证”、“即证”、“也即证”等词语。?????? 三、综合法?????? 综合法是由因导果。即从已知条件或已知的真命题出发，根据不等式性质一步步推导出结论的一种方法。综合法往往是分析法的逆过程，它表述简单，条理清楚。因此，在实际证明的过程中，我们通常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数字问题的一种重要思想方法。?????? 四、反证法?????? 用反证法证题的实质就是从否定结论入手。经过一系列的逻辑推导出矛盾。从而说明原结论正确。对于要证明的结论中会有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若难以找到解题的突破
口，可转换视角。用反证法往往能解决问题。?????? 五、放缩法?????? 若要证明不等式a＜b成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法称为放缩法，即要证明a＜b成立，可以构造出数学式c，使a＜c，c＜b。其中数学式c常常通过将a放大或缩小而构造。放缩法是一种证明技巧。利用好这一技巧可以突破证明不等式的许多难关。????? 六、
换元法?????? 将所证的不等式的字母作适当代换，以达到简化证题过程的目的。这种方法称为换元法，换元法的主要方法及适应范围是：?????? 1. 三角代换法：多用于条件不等式的证明。当所给条件比较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将两个变量都用同一个参数表示，此法如果运用适当。可沟通三角与代数的关系，将复杂的代数问题
转化为三角问题。?????? 2.
增量换元法：在对称式（
任意交换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a＞b＞c）的不等式，应考虑用增量法进行换元。其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。
????? 在不等式的证明中，只要掌握好以上方法，学会会学会用，掌握这方面的知识就不难。写下以上几点，以供参考。

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