《一元二次方程》教学设计及反思

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《一元二次方程》教学设计及反思



一、教材分析



这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。



二、教学目标



(1)知识与技能：使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。

(2)过程与方法：复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力。

(3)情感、态度与价值观：通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心。

教学重点：对二次函数概念的理解。

教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。



三、学情分析



因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式。但是由于学生将实践问题转化为数学方程的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过直观形象的观察与演示，从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。



四、教学过程



1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学过程。

2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学过程。

3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学过程。



五、教学策略选择传统文化融合的设计



(一)复习提问

1、什么叫函数？我们之前学过了那些函数？

(一次函数，正比例函数，反比例函数)

2、它们的形式是怎样的？

(y=kx+b，k≠0；y=kx ，k≠0；y=k/x ， k≠0)

3、一次函数(y=kx+b)的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？

【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解、强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较。

(二)引入新课

函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。(电脑演示)

例1圆的半径是r(厘米)时，面积s (厘米2)与半径之间的关系是什么？

解：s=XXXXXr2(r>0)

例2设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请问两年后的本息和y(元)与x之间的关系是什么(不考虑利息税)？

解： y=100(1+x)2

=100(x2+2x+1)

= 100x2+200x+100(0

教师提问：以上两个例子所列出的函数与一次函数有何相同点与不同点？

【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出二次函数与一次函数的联系： (1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)。(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)。

(三)讲解新课

以上函数不同于我们所学过的一次函数，正比例函数，反比例函数，我们就把这种函数称为二次函数。

二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a≠0，a， b， c为常数) 的函数叫做二次函数。

巩固对二次函数概念的理解：

1、强调“形如”，即由形来定义函数名称。二次函数即y 是关于x的二次多项式(关于的x代数式一定要是整式)。

2、在 y=ax2+bx+c 中自变量是x ，它的取值范围是一切实数。但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值。(如例1中要求r>0)

3、为什么二次函数定义中要求a≠0 ？

(若a=0，ax2+bx+c就不是关于x的二次多项式了)

4、在例2中，二次函数y=100x2+200x+100中， a=100， b=200， c=100。

5、b和c是否可以为零？

由例1可知，b和c均可为零。

若b=0，则y=ax2+c；

若c=0，则y=ax2+bx；

若b=c=0，则y=ax2。

注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式。

【设计意图】这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。

判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c。

(1)y=3(x-1)2+1

(2)s=3-2t2

(3)y=(x+3)2- x2

(4) s=10XXXXXr2

(5) y=22+2x

(6)y=x4+2x2+1(可指出y是关于x2的二次函数)

【设计意图】理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。

(四)巩固练习

1、已知一个直角三角形的两条直角边某某的和是10厘米。

(1)当它的一条直角边的长为4、5厘米时，求这个直角三角形的面积；

(2)设这个直角三角形的面积为S厘米2，其中一条直角边为x厘米，求S关于x的函数关系式。

【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学习的难度。

2、已知正方体的棱长为x厘米，它的表面积为S厘米2，体积为V厘米3。

(1)分别写出S与x，V与x之间的函数关系式子；

(2)这两个函数中，那个是x的二次函数？

【设计意图】简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。通过简单题目的练习，让学生体验到成功的欢愉，激发他们学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。

3、设圆柱的高为h(厘米)是常量，底面半径为r厘米，底面周长为C厘米，圆柱的体积为V厘米3

(1)分别写出C关于r；V关于r的函数关系式；

(2)两个函数中，都是二次函数吗？

【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复习，并与今天所学知识联系起来。

4、 篱笆墙长30m，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。

【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。

(五)拓展延伸

1、 已知二次函数y=ax2+bx+c，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x= -1时，y=1、求a、b、c，并写出函数解析式。

【设计意图】在此稍微渗透简单的用待定系数法求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。

2、确定下列函数中k的值

(1)如果函数y= xk^2-3k+2 +kx+1是二次函数，则k的值一定是______

(2)如果函数y=(k-3)xk^2-3k+2+kx+1是二次函数，则k的值一定是______

【设计意图】此题着重复习二次函数的特征：自变量的最高次数为2次，且二次项系数不为0。

(六) 小结思考

本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方？

【设计意图】让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。

(七) 作业布置

必做题：

1、 正方形的边某某为4，如果边某某增加x，则面积增加y，求y关于x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？

2、 在长20厘米，宽15厘米的矩形木板的四角上各锯掉一个边某某为X厘米的正方形，写出余下木板的面积y(厘米)与正方形边某某x(厘米)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。

选做题：

1、已知函数 是二次函数，求m的值。

2、试在平面直角坐标系画出二次函数y=2x和y=-2x图象

【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第4题，旨在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。



六、教学板书



一元二次方程

1、是整式方程

2、只含有一个未知数

3、未知数的最高次数是2

任何一个一元一次方程都可以化为 “ax+b=c（a≠0）”的形式，由此类比得出一元二次方程的一般形式为“ax2+bx+c=0（a≠0）”；



七、教学反思



这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用。

二元一次方程在数学中经常用来求最值，解决一些实际问题，例如求一些利润最大，花费最小等问题非常的常见，而且二元一次方程的图像与数学表达式也非常重要，学生可以利用数形结合的方法，学习二元一次方程的求解问题，二元一次方程的求解公式也非常重要，在中考是必考的重点内容，所以我在本课教学中非常注重让学生理解什么是一元二次方程，定义很关键，所以我讲的比较细致。

在授课过程中，我利用信息技术，通过让学生看一些实际问题，让学生来想解决办法，在利用excel表格记录下来一些数据，最后通过将数据分析，描点画图等教学方法，让学生理解一元二次方程的一些特点及应用方法，学生通过大量的点最后描绘出了一元二次方程的图像，是一条抛物线。

本节课的不足之处：

1、由于本节课的内容较难，有些学生可能跟不上我教学的进度，但因为本节课内容较多，我没有顾及这些数学学习能力较差的同学，有些学会课下又找我问了一些上课时没有重点强调的内容。

2、由于本节课与前面讲的内容联系紧密，课前我没有让学生回顾前面的知识，没有将本节课知识点与前几节课对比学习，给学生的学习思维带来了混乱，这些都是我经过反思认为存在的问题。

总之，在本节教学中，我始终坚持以学生为主体，教师为主导，致力启用学生已掌握的知识，充分调动学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中，在整个教学过程中我以启发学生，挖掘学生潜力，培养学生应用意识，提高学生学习数学素养。?





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