方某某的根与函数的零点教学设计

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《方某某的根与函数的零点》的教学设计

***学 邓某某

一、课标及教材分析

课标解读

结合二次函数的图象，判断一元二次方某某根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方某某根的联系。

（二）教材地位及作用  《方某某的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时。主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方某某根的关系，函数零点存在性定理。

本节课是学习了基本初等函数及其相关性质的基础上来学习的，利用函数图象和性质来判断方某某的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方某某的近似解”和后续学习奠定基础．

因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要。

二、学情分析

按照教材的整体编排结构，高一年级学生已经对方某某和函数有了一个比较系统的认识和理解。特别对一元二次方某某和二次函数有了一定的理解，这对本节内容的学习有很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手能力、动脑能力以及观察能力都还相对欠缺，在本节课的学习上还是会遇到很多的困难。

三、教学目标分析

（一）三维目标

【知识与技能目标】了解方某某的根与函数零点之间的关系，学会函数零点的求法，掌握判定函数零点的存在及其个数的方法。

【过程与方法目标】经历“特殊到一般、类比与归纳，启发与探究”的过程，让学生感悟由具体到一般、合作探究的研究方法。

【能力与情感目标】培养学生自主探究、合作交流、归纳概括的能力，激发学生的学习兴趣并培养学生严谨的科学态度，同时让学生体会数形结合思想、函数与方某某思想、转化化归思想的意义与价值。

（二）教学重、难点

【教学重点】1.方某某的根与函数零点之间的关系；

2. 求函数的零点，判定函数零点的存在及其个数的方法。

【教学难点】函数零点的存在性，及函数零点的个数的确定。

四、教法分析

1、特殊到一般引导比较法

2、类比归纳、合作探究法

3、练习巩固法

五、学法指导

为进一步培养学生的动手能力、动脑能力以及观察能力，我设想引导学生在学习过程中以我设计的学案和设置的一个个问题为主线，由浅入深、循序渐进，采用特殊到一般、合作探究的方法,把握重点、突破难点。

教学过程

（一）以旧带新，引入课题

1、思考引入：一元二次方某某
的实数根与二次函数
的图象有什么关系？

2、分别求出下列方某某的实数根、作出相对应的函数图象，并写出函数图象与x轴的交点坐标。

方某某









函数









函数图象









方某某的实数根









函数的图像与x轴的交点











将上面特殊的一元二次方某某推广到一般的一元二次方某某
及其相应的二次函数
的图象与x轴的交点关系，上述结论是否仍然成立？

判别式△=

△＞0

△=0

△＜0



方某某
的根









函数

图像









函数的图象

与 x 轴的交点











【设计意图】2、3的表格中可以引导学生观察出一元二次方某某的根也就是其对应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标。

将一元二次方某某的根与所对应的二次函数的图象与x轴的交点关系，推广到一般的方某某与对应的函数的图象与x轴的关系：方某某
的根，也就是其所对应的函数
的图象与
轴交点的横坐标．

函数的零点概念：对于函数
，我们把使
的实数
叫做函数
的零点．

（1）所以函数的零点不是点，是一个实数

（2）等价关系：方某某
有实数根

函数
的图象与
轴有交点

函数
有零点．

例：回到表2回答求出三个函数的零点

方某某









函数











函数图象









方某某的实数根









函数的图像与x轴的交点









函数的零点











师：你是怎么作出来的？

生：函数
的零点就是方某某
的根，也就是函数
的图象与
轴交点的横坐标。

函数零点的求法：方某某法、图象法。

师：能否写成（-1，0），（3,0）？

生：不行，因为函数的零点不是点，是一个实数。

巩固练习：求下列函数的零点.

师生总结：方某某法求函数零点的步骤：(1)令f(x)=0; (2)解方某某f(x)=0；(3)写出零点

【设计意图】通过此环节，让学生加深对零点定义的理解，可以突出本课的重点，实现理解函数零点定义的教学目标．

二、动手探究，揭示定理

思考:（1）函数都有零点吗？

（2）什么条件下的函数必有零点？

观察下面四副函数y=f(x)的图象，分析函数零点的存在性。

【提示】1.函数的图象在区间[a,b]上的连续性；

2.函数在区间[a,b]端点处函数值符号情况。

师：由以上的探索你发现了什么?

【设计意图】通过（1）、（2）的探究让学生动手实验和讨论，教师对探究结果进行点评，引导学生归纳总结函数存在零点的条件，

零点定理：如果函数
在区间
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么，函数
在区间
内有零点，即存在
，使得
，这个
也就是方某某
的根．

练习：判断正误，若不正确请用函数图像举出反例。

1.已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a).f(b)<0，则f(x)在区间[a,b]内存在零点。

2.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a).f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)上没有零点。

3.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a).f(b)<0,则f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点。

4.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，并且f(a).f(b)<0,且是单调函数，则f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点。

零点定理推论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)XXXXXf(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。

【设计意图】通过以上几个函数的图象以及四道判断题加深学生对零点定理的理解。

三、例题讲解

例题：已知函数f(x)=lnx+2x－6。

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的单调性；

（3）函数在区间[2,3]上是否有零点？如果有，有几个？

解：略

思考：函数f(x)=lnx+2x-6的零点所在的区间唯一吗？

想一想：直接求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数，怎么求？

【设计意图】本题是将课本的例1进行改编而来，降低了难度。使学生初步运用定理及推论来解决“函数在区间[2,3]上是否有零点？如果有，有几个？”这一类问题，加深对函数在某一区间上存在零点的判定定理的理解，再次突出了本节课“函数零点存在性的判断”的重点．而提出“思考”可以使学生意识到零点所在的区间是不唯一的，为下一节二分法求方某某的近似解奠定基础。“想一想”让学生通过转化函数，采用数形结合，确定函数零点的个数。从而实现了让学生体会数形结合思想、函数与方某某思想、转化思想的教学目标。

四、巩固练习

1、已知函数f(x)的图像时连续不断的，有如下对应值表：

x

1

2

3

4

5

6



 f(x)

136.136

15.552

-3.92

10.88

-52.488

-232.064



那么函数在区间[1,6]上的零点至少有

A.5 B.4 C.3 D.2

2、函数
在区间[0,1]内是否有零点？

3、函数
的零点所在的大致区间是（ ）

A.（1,2） B.（2,3） C.（3,4） D.（4,5)

【设计意图】立足教材，给学生提供一个完整的运用知识的平台，帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力．

五、归纳小结、培养能力

函数零点的概念；

方某某的根与函数的零点的关系；

函数零点的存在性定理及推论；

（4）函数零点的判断方法

①方某某法 ②图象法 ③定理法

（5）学会函数与方某某和数形结合的思想；

【设计意图】小结是一堂课的概括和总结，有利于优化学生的认知结构，能把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生的归纳概括能力。

布置作业，巩固提高

1、求下列函数的零点

f(x)=x+5 (2)f(x)=log3 (x+1)

2、判断函数f(x)=x-3+lnx的零点个数。

七、板书设计

XXXXX3．1．1 方某某的根与函数的零点



函数零点定义．

零点的存在性定理

三、推论

例：已知函数f(x)=lnx+2x－6。

解：（3）......







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