教学设计

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《方程的根与函数的零点》教学设计

【环节一：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想

教师活动：请同学们思考这个问题。解方程：

（1）
；（2）
.（3）
；（4）
.

学生活动：回答，思考解法。

教师活动：第四个方程我们没有学过它的解法，通过这节课的学习我们来解决这个问题。上一章我们学习了基本初等函数，这节课我们就通过研究函数来解决方程根的问题。画出前三个方程相应函数的图象，并求出图象和x轴交点.

学生活动：动手画图并求解。

教师活动：用屏幕显示方程的根、函数的图象以及函数图象与x轴交点的坐标。观察三者之间的关系。

学生活动：观察图象，思考作答。得到方程的实数根是函数图象与x轴交点的横坐标，是使函数值为零的x的结论。

教师活动：我们就把使f（x）=0的实数x称做函数的零点．

设计意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情．

通过回顾一次函数、二次函数、指数函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．

【环节二：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系

教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书函数零点的定义。

教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？

学生活动：思考作答。

教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。板书方程的根与函数零点的等价关系。

在屏幕上显示：函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数根

函数y=f(x)的图象与x轴有交点

教师活动：强调方程与函数的思想。

教师活动：屏幕显示函数图象，指出这几个函数的零点是？

学生活动：对比定义回答。

教师活动：强调：零点就是使函数值为0的实数而不是点！

教师活动：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”的角度理解，就是图象与x轴有交点。所以求函数的零点的方法有方程法和图象法。这也是数形结合思想的体现。

教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力

【环节三：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化

教师活动：用屏幕显示例题：

学生活动：快速口答。

教师活动：用屏幕显示练习：

2、函数y=f(x)的图象如下，则其零点为 .

学生活动：快速口答。

教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决
的根的存在性问题？

学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。

教师活动：现在最棘手的问题是y=
的图象不会画，还是不能解决。下面我们继续研究能不能不画图象就判断出零点的存在呢？

设计意图：通过纯粹靠代数运算和图象利用定义解决问题。及时矫正“零点是交点”这一误解，是学生熟悉利用方程的根和图象求函数零点的方法。

回归课堂引入，发现数形结合不能解决，激发学生进一步探究问题的积极性。

【环节四：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑

教师活动：观看《小马过河》的视频片段。

如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下图），哪一组能说明她的行程一定渡过河？



学生活动：第二组。

教师活动：将河流抽象成x轴，过河的路线抽象成函数图象。过河图象就与x轴产生了交点，从而函数存在零点。怎样用代数式描述河两侧的位置那？

学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值一正一负的结论.

教师活动：屏幕展示三个函数的图象，求出零点附近的给出的函数值。

学生活动：通过观察图象和数值，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.

教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间（a,b）上存在零点？

学生活动：得出f(a)XXXXXf(b)<0的结论。

教师活动：若f(a)XXXXXf(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？

屏幕显示不同的函数图象， 其中包括图象不连续的函数图象。

学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在[a,b]上连续不断的函数，在满足f(a)XXXXXf(b)<0的条件时，才会存在零点的结论。

设计意图：通过具体的生活实例直观感受零点存在的条件。通过具体的例子加以验证，通过特殊的例子完善定理内容。通过归纳得出零点存在性定理．

【环节五：归纳定理，简单运用】初识定理表象，初步解决问题。

教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性定理。这是我们本节课的第三个知识点。板书零点存在性定理。

教师活动：用屏幕显示函数零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) XXXXXf(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．

即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．

教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容。

学生活动：读出定理。

教师活动：大家注意到了么，定理中，两个重要的条件是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线和f(a) XXXXXf(b)<0

教师活动：屏幕显示例题：例2、判断函数f(x)=lnx+2x-6在（1，e）是否存在零点.

在黑板上板书解题过程。

屏幕展示练习：3、f(x)=x3+x-1*** )

A.(-2,-1) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

4、下列函数在区间（1，2）上有零点的是( )

(A) f(x)=3x2-4x+5 (B) f(x)=x3-5x-5

(C) f(x)=lnx-3x+6 (D) f(x)=ex+3x-6

学生活动：学生快速完成。

设计意图：例题给出具体的区间，降低学生的解题的难度。

【环节六：深刻理解，答疑解惑】深入理解实质，解决初始问题

教师活动：用屏幕显示函数零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) XXXXXf(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．

即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．

教师活动：结合定理的叙述形式和函数图象，解决一下问题。

（1）若f(a)f(b)>0，函数在(a,b)一定没有零点？

（2）函数y=f(x)在(a,b)内有零点，一定能得出f(a)f(b)<0的结论？

（3）满足定理条件时，函数只有一个零点？

（4）增加什么条件时，函数只有一个零点？

学生活动：通过函数图象举出反例，得出结论。

（1）若f(a)XXXXXf(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内也可能有零点。

（2）函数y=f(x)在(a,b)内有零点，不一定能得出f(a)f(b)<0。

（3）满足定理条件时，只能确定f(x)在区间(a,b)内有零点，有几个不一定。

（4）满足定理的条件下，如果函数再具有单调性,函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点。

教师活动：屏幕显示：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)XXXXXf(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。

教师活动：屏幕显示：变式：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数。

在黑板上例2答案处继续板书解题过程。

教师活动：屏幕显示：练习5．求函数 的零点个数.

学生活动：两位同学板演，其他同学对照例题，运用定理，解决问题。

教师活动：点评板演同学的答案，强化解题思路和步骤书写。

归纳求函数零点或零点个数的方法：定义法，图象法，定理法。

教师活动：屏幕显示：练习6．求函数f（x）=x -2-x的零点个数，并确定区间。

学生活动：同学针对不同的问题，选择不同的方法。

设计意图：通过四个探究的设置和讨论让学生在自主探究的过程中进一步体会定理的条件和作用，进一步解决课堂引例。

【环节七：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识

教师活动：

【环节八：设置疑问，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识

教师活动：这节课我们解决方程
根的存在性问题，课后思考：如何求出方程的根？

设计意图：让学生课下感受数形结合思想的不同用法，为下一节二分法做铺垫。

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